Question

【题目】如图，三棱柱中，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若，直线与平面所成角为45°，为的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）首先过点作，垂足为，根据，得到平面，从而得到.又因为得到，，从而得到平面，由此即证平面平面.

（2）首先以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，根据直线与平面所成角为得到，，再利用向量法求二面角的余弦值即可.

（1）

过点作，垂足为.

因为，交于点，

所以平面.

又因为平面，故.

因为，，

所以为等腰直角三角形，则.

又因为，，

所以，故，

故，.

因为，平面，，所以平面.

又因为平面，故平面⊥平面.

（2）由（1）知平面.

以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，

建立空间直角坐标系.

因为直线与平面成角为45°，而，

所以直线与平面成角为，

而是直线与平面所成角，故.

所以，，，，，，，

，

设平面的法向量为，

则，令，得.

因为平面，所以为平面的一条法向量，.

所以，

二面角的余弦值为.