Question

【题目】己知函数．

(1)证明：当恒成立；

(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或

【解析】

（1）令，要证在上恒成立，只需证，；

（2）函数，定义域为，．对a分类讨论，研究函数的单调性及最值，以确定图象与x轴的交点情况.

（1）证明：令，

要证在上恒成立，

只需证，，

因为，

所以.

令，

则，

因为，所以，

所以在上单调递增，

所以，即，

因为，所以，所以，

所以在上单调递增，

所以，，

故在上恒成立.

（2）函数，定义域为，

．

①当时，无零点.

②当时，，所以在上单调递增，

取，则，（或：因为且时，所以．）

因为，所以，此时函数有一个零点．

③当时，令，解得．

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

所以 .

若，即时，

取，，即函数在区间上存在一个零点；

当时，因为，所以，

则有，，必然存在 ，使得，即函数在区间存在一个零点；

故当时，函数在上有两个零点，不符合题意.……11分

所以当时，要使函数有一个零点，必有，

即．

综上所述，若函数恰有一个零点，则或.