Question

【题目】已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点

（1）若弦AB的中点为，求弦AB的直线方程;

（2）设，若，求证AB过定点.

Answer 1

【答案】（1）y=x+1（2）见证明

【解析】

（1）设出A,B的坐标，结合弦AB的中点坐标，建立等式，计算直线AB的斜率，得到直线方程，即可．（2）设出AB的直线方程，代入抛物线方程，得到二次等式，结合根与系数的关系，得到AB的方程，计算定点，即可．

（1）因为抛物线的方程为，设，，

则有x1 ≠x2

，，

因为弦AB的中点为(3,3)，

两式相减得，

所以，经验证符合题意．

所以直线l的方程为y-3=（x-3）,即y=x+1 ；

（2）当AB斜率存在时，设AB方程为y=kx+b代入抛物线方程：

ky2-4y+4b=0，

,，

AB方程为y=kx-3k=k(x-3)，恒过定点（3,0）.

当AB斜率不存在时，，则x1=x2=3，过点(3,0).

综上，AB恒过定点（3,0）.