Question

【题目】已知函数在区间上的最大值为9，最小值为1，记

（1）求实数，的值；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围；

（3）定义在上的函数，设，将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由（表示）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）是，最小值为10

【解析】

（1）由已知,根据二次函数对称轴公式:,得的对称轴为:,结合函数的单调性及最值,即可得到关于,的方程组,进而解得,的值;

（2）由（1）得参数,的值,代入可得函数解析式,根据二次函数的图像和性质,可将问题转化为距离轴距离远近的问题,得到关于的方程,即可求得的取值范围;

（3）根据有界变差函数的定义,我们先将区间进行划分,分成,两个区间进行分别判断,进而判断是否恒成立,从而得出结论.

（1） ,是开口向上的二次函数

根据二次函数对称轴公式:,得的对称轴为:

由二次函数图像可知在上是单调递增故:,

得: 解得:

（2）

又 故为偶函数

画出图像:

由图像可知要保证: 即:

则:或 解得: 或

所以实数的取值范围为:.

（3） 函数为上的有界变差函数

又 函数为上的单调递减函数,在上是单调递增函数

且对任意划分:

有

恒成立.

且对任意划分:

有

可得

综上所述:存在常数,使得恒成立,的最小值为.