Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤

1

8

(x+2)2成立．
（1）若f（x）满足f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求证：f（x₁+x₂）=c；
（2）求f（2）的值；
（3）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）利用f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），通过对称轴即可证明f（x₁+x₂）=c；
（2）直接利用函数恒成立，求出f（2）的值；
（3）通过f（-2）=0，列出方程组，利用f（x）≥x恒成立，通过判别式求出a，b，c，即可求f（x）的表达式

解答：解：（1）f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），得对称轴为x=

x1+x2

2

=-

b

2a

，
即x1+x2=-

b

a

所以f(x1+x2)=f(-

b

a

)=a•(-

b

a

)2-b•

b

a

+c=c．
因为二次函数的对称轴为x=

x1+x2

2

，f（x₁）=f（x₂），
得f（x₁+x₂）=f（0）=c
 （2）由条件知 f（2）=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2时，f(2)=4a+2b+c≤

1

8

(2+2)2=2与恒成立，
∴f（2）=2
 （3）∵

4a+2b+c=2 4a-2b+c=0

，
∴4a+c=2b=1，∴b=

1

2

，c=1-4a．
又 f（x）≥x恒成立，即ax²+（b-1）x+c≥0恒成立．
∴a＞0，△=(

1

2

-1)2-4a(1-4a)≤0，
解出：a=

1

8

，b=

1

2

，c=

1

2

，
∴f(x)=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

点评：本题考查二次函数的性质，函数恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力．