Question

【题目】已知函数f（x）＝xln x．

（1）求函数f（x）的极值点；

（2）设函数g（x）＝f（x）－a（x－1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（1）x＝是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在；

（2）当a≤1时，g（x）的最小值为0；当1<a<2时，g（x）的最小值为a－ea－1；当a≥2时，g（x）的最小值为a＋e－ae．

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的符号变换，研究函数的单调性和极值即可；（2）先通过求导研究函数的单调性，再通过分类讨论法研究与区间的关系求其最值．

试题解析：（1）f′（x）＝ln x＋1，x>0，由f′（x）＝0得x＝，

所以f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，＋∞）上单调递增．

所以，x＝是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．

（2）g（x）＝xln x－a（x－1），则g′（x）＝ln x＋1－a，由g′（x）＝0，得x＝ea－1，

所以，在区间（0，ea－1）上，g（x）为递减函数，在区间（ea－1，＋∞）上，g（x）为递增函数．

当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）的最小值为g（1）＝0．

当1<ea－1<e，即1<a<2时，g（x）的最小值为g（ea－1）＝a－ea－1．

当ea－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）的最小值为g（e）＝a＋e－ae．

综上，当a≤1时，g（x）的最小值为0；当1<a<2时，g（x）的最小值为a－ea－1；当a≥2时，g（x）的最小值为a＋e－ae．