Question

【题目】为固定的整数，定义任意整数坐标点关于的余数是关于的余数.找出所有正整数数组，使得以、、、为顶点的长方形具有如下性质：

ⅰ.长方形内整数点以为余数出现的次数相同；

ⅱ.长方形边界上整数点以为余数出现的次数相同.

Answer 1

【答案】满足条件的为：当时，中至少有一个为奇数；当时，

或

【解析】

长方形边界上共有个整点，则有.

长方形内共有个整点，则有.

当时，为使其中被2除余0，1的点的个数相同，则必有.

从而，中至少有一个为奇数.

另一方面，当中至少有一个为奇数时，不妨设为奇数，则对一切在个点中被2除余0，1的点的个数相同.从而，长方形内的整点中被2除余0，1的个数相同.

又及中被2除余0，1的点的个数相同，且对一切，点与被2除余数一个为0，一个为1.从而，长方形边界上的点中被2除余0，1的个数也相同.

故此时满足要求，其中中至少有一个奇数.

当时，边界上共有个整点：

与

.

它们的坐标和分别为与.

设则边界上的点中被除余的有偶数个，

且若，则边界上的点中被除余0的有奇数个， 这不可能，故必有.

且当时， 边界上的点中被除余的个数必相同.

又长方形内部共有个点，故必有.

若，则设分别是除以的余数，

则，且若，则又由知，从而，

.

这不可能，故.同理知.

于是，长方形内部整点被除余的个数相同等价于

中被除余的个数相同.

又，故必有.于是，

中没有被除余0的点，矛盾.

从而之一必被除余1，而另一个被除余.此时，由于或，可知内部整点被除余的个数相同.

综上所述，满足条件的为：当时，中至少有一个为奇数；当时，

或.