Question

曲线y=f(x)=ax³+bx²+cx,当x=1-时,f(x)有极小值，当x=1+处有极大值，且在x=1处切线的斜率为.

(1)求f(x)；

(2)曲线上是否存在一点P，使得y=f(x)的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3ax²+2bx+c.

∵当x=1±时,f(x)有极小值及极大值,

∴f′(1±)=0,即1±为3ax²+2bx+c=0的两根.

∴

∴b=-3a,c=-6a.                                                            

又∵f(x)在x=1处切线的斜率为,

∴f′(1)=,∴3a+2b+c=.

∴a=-,b=,c=1.

∴f(x)=-x³+x²+x.                                                      

(2)假设存在P(x₀,y₀)，使得f(x)的图象关于P中心对称，

则f(x₀+x)+f(x₀-x)=2y₀,

即-(x₀+x)³+(x₀+x)²+x₀+x-(x₀-x)³+(x₀-x)²+x₀-x=2y₀,

化简得(1-x₀)x²+x₀²+2x₀-x₀³=2y₀.

∵对于任意x∈R等式都成立,

∴

∴x₀=1,y₀=.易知P(1，)在曲线y=f(x)上.

∴曲线上存在P(1，)使得f(x)的图象关于点P中心对称.