Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若异面直线与所成角为，求的长；

（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）若要证明平面平面,可先证明平面,由面面垂直的性质可得,即证明即可,进而求证；

（2）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,分别求得与,进而利用数量积求解即可；

（3）由（2）,分别求得平面与平面的法向量,进而利用数量积求解.

（1）∵,,为的中点,

∴四边形为平行四边形,∴,

∵,∴,∴,

又∵平面底面,且平面平面,

∴平面,

∵平面,∴平面平面.

（2）∵,为的中点,∴,

∵平面底面,且平面平面,∴底面,

以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

设,则,,,,,

∴,,设异面直线与所成角为,

∵异面直线与所成角为,

∴,解得,

∴在中,.

（3）由（2）平面的法向量,,,,

设平面的法向量,

则,取,得,

设平面与平面所成锐二面角为,则,

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.