Question

【题目】设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是 、 ，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：① = 且 = + ；② =4 且 = ×4 ；
（1）写出 及 的坐标，并求出 的坐标；
（2）若△OAnBn+1的面积是an ， 求an（n∈N*）的表达式；
（3）对于（2）中的an ， 是否存在最大的自然数M，对一切n∈N*都有an≥M成立？若存在，求出M，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： = + = + + = +2 =（1，2）， =2 +3 =（2，3）

=（n﹣1） +n =（n﹣1，n）

（2）解：An（n﹣1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上．

=（1+1﹣ +…+ ﹣ ）×4 = × ，

∴△OAnBn+1的面积an= =

（3）解：设t=n+1，（t≥2，t∈N+）则an=4t+ ﹣6，

y=4t+ ，则y′=4﹣ ＞0在[2，+∞）上恒成立，

∴an=4t+ ﹣6≥3，

∵对一切n∈N*都有an≥M成立，

∴M≤3，

∴M的最大值为3

【解析】（1）利用向量的加法运算写出 及 的坐标，并求出 的坐标；（2）An（n﹣1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上． =（1+1﹣ +…+ ﹣ ）×4 = × ，即可求an（n∈N*）的表达式；（3）设t=n+1，（t≥2，t∈N+）则an=4t+ ﹣6，an=4t+ ﹣6≥3，即可得出结论．