Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆T经过P(1，

6

3

)，Q(

2

，

3

3

)．
（I）求椭圆T的标准方程；
（II）若M，N是椭圆T上两点，满足

OM

•

ON

=0，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（I）设椭圆T的方程为mx²+ny²=1，将P、Q的坐标代入，求出m，n的值，即可求得椭圆T的标准方程；
（II）表示出|MN|，利用M，N是椭圆T上两点，满足

OM

•

ON

=0，结合基本不等式，即可求|MN|的最大值．

解答：解：（I）设椭圆T的方程为mx²+ny²=1，将P、Q的坐标代入得

m+ 2 3 n=1 2m+ 1 3 n=1

，∴

m= 1 3 n=1

∴椭圆T的标准方程为

x2

3

+y2=1；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

∵

OM

•

ON

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴|MN|=

x12+x22+y12+y22

=

2 3 (x12+x22)+2

∵(x1x2)2=(y1y2)2=1-

1

3

（x12+x22）+

(x1x2)2

9

∴

8(x1x2)2

9

=1-

1

3

（x12+x22）≤

8

9

(

x12+x22

2

)2
∴x12+x22≥3
∴|MN|≤2，∴|MN|的最大值为2．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式，确定|MN|的表达式是关键．