Question

【题目】设函数为常数．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若函数有两个不同的零点，，

①当时，求的最小值；

②当时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）利用导数求得函数在处切线的斜率，结合切点坐标，利用点斜式写出切线方程.

（2）①利用的二阶导数，求得的最小值的表达式，利用，对进行分离常数，由此求得的取值范围，进而求得的最小值. ②当时，假设是函数的零点，证得也是函数的零点，也即，由此求得.

（1）当时，，，，，

故所求切线的方程为，即.

（2）①，令，则，

当时恒成立，故在上递减，

令得，故在上递增，

又，，的图象在上连续不间断，

所以存在唯一实数使得，

故时，时，所以在上递减，在上递增，

∴，由得，

∴，

因为函数有两个不同的零点，，所以，得，

由易得，故整数，

当时，，满足题意，

故整数的最小值为.（也可以用零点存在性定理给出证明)

注：由得，不能得到.

②当时，，

不妨设，由及的单调性可知，

由得，

∴，

故函数有两个不同的零点，，

又由的单调性可知有且仅有两个不同的零点，，

∴，∴.