Question

【题目】过抛物线(其中)的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．

(1)求抛物线的方程；

(2)当时，求的值；

(3)对于轴上给定的点(其中)，若过点和两点的直线交抛物线的准线点，求证：直线与轴交于一定点．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）1； （3）见解析.

【解析】

（1）设直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得p＝4，即得抛物线方程；（2）推理证明=，整理即可得到所求值；（3）设A（，y1），B（，y2），P（﹣2，s），运用三点共线的条件：斜率相等，可得s，设AP交x轴上的点为（t，0），运用韦达定理，化简整理可得所求定点．

(1)过抛物线(其中)的焦点的直线

为，代入抛物线方程，可得，

可设，

即有，解得，

可得抛物线的方程为；

(2)由直线过抛物线的焦点，

由（1）可得，将代入可得；

(3)证明：设，，，

由三点共线可得

，可得，①

设交轴上的点为，即有，

代入①，结合，可得，

即有，

可得．即有直线与轴交于一定点．