Question

【题目】已知（为自然对数的底数， ）.

（1）设为的导函数，证明：当时， 的最小值小于0；

（2）若恒成立，求符合条件的最小整数

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析: (1)构造函数，则, 令求导判断单调性得出最值,即可证得成立; (2) 恒成立，等价于恒成立.令，求导判断单调性, 求出g（x）的零点所在区间，得到f（x）的单调区间和最小值，所以恒成立,且 再由参数分离和构造函数法，即可得到b的范围，进而得到最小整数b.

试题解析:

（1）【证明】令，则

因为，令，则. 　

所以当时， 单调递减；

当时， 单调递增.

则　

令　

当时， 单调递增；当时， 单调递减.

所以，所以成立.　　

（2）【解】恒成立，等价于恒成立.令，

则 因为，所以，所以单调递增.

又，所以存在，使得.

则时， 单调递减；

时， 单调递增.

所以恒成立. ①且②

由①②得恒成立.

又由②得，所以

，所以，所以单调递增， ，

所以，所以符合条件的最小整数.