Question

【题目】如图，在中，，，分别是的中点．将沿折成大小是的二面角．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根据题意，由二面角为得出，通过运用线面垂直的判定得出平面，根据边长关系和勾股定理的逆定理得出，根据等腰三角形的性质得出，最后利用面面垂直的判定定理，即可证出平面平面；

（Ⅱ）根据条件得出四边形为矩形，得出，从而将求与平面所成的角转化成求与平面所成的角，由线面垂直求出到平面距离，最后利用几何法即可求出结果.

解：（Ⅰ）由题可知，中，，，

不妨设，

已知将沿折成大小是的二面角，

而，，

则可得： ，平面，

所以在中，， ，

则为等边三角形，得，

由于分别是的中点，则，

所以平面，平面，

于是，所以，

取的中点，连，

则，，

取的中点，连接，则，

则，，

易得：，

在中，，

则，所以，即，

在中，，则，

又，所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）由于为的中点，则，

又且，

可得：四边形为矩形，

所以与平面所成的角就是与平面所成的角，设为，

由于平面，为的中点，

所以到平面距离是：，

而，

可得与平面所成角的正弦值为：，

所以与平面所成角的正弦值.