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    【题目】已知某正三棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）

    A.B.C.D.

    【答案】D

    【解析】

    先利用侧面与底面所成二面角的余弦值为可得三个侧面的等腰三角形底边上的高，再根据等体积法可求得球的半径，进而根据立体几何中的相似，可得所切的三棱锥的相似比，进而得到的半径比以及表面积的比.

    如图，正三棱锥，设在底面上的投影为，取中点，易得，，即为侧面与底面所成二面角.

    又，故，.

    设球的半径为，则，即，解得.

    根据题意可知，为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球，且该三棱锥的高.故两正三棱锥的相似比为，故其内切球的的半径比也为，故球与球的表面积之比为.

    故选：D

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    A.B.C.D.

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    A.B.C.D.

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