Question

【题目】如表是一个由n2个正数组成的数表，用aij表示第i行第j个数（i，j∈N），已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．

（1）求an1和a4n；
（2）设bn= +（﹣1）na （n∈N+），求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设第1列依次组成的等差公差为d，

设第1行依次组成的等比数列的公比为q，

根据题意a31+a61=（1+2d）+（1+5d）=9，

∴d=1，

∴an1=a11+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，

∵a31=a11+2d=3，

∴a35=a31q4=3q4=48，

∵q＞0，

∴q=2，

∵a41=4，

∴a4n=a41qn﹣1=4×2n﹣1=2n+1

（2）解：由bn= +（﹣1）na （n∈N+）

= +（﹣1）nn

= +（﹣1）nn= ﹣ +（﹣1）nn，

前n项和Sn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ +[﹣1+2﹣3+4﹣5+（﹣1）nn]，

当n为偶数时，Sn=1﹣ + ；

当n为奇数时，Sn=Sn﹣1+bn=1﹣ + + ﹣ ﹣n

=1﹣ ﹣ = ﹣

【解析】（1）设第1列依次组成的等差公差为d，设第1行依次组成的等比数列的公比为q，根据题意可以求出d和q，再根据通项公式的定义即可求出；（2）求出bn= +（﹣1）na （n∈N+）= +（﹣1）nn= ﹣ +（﹣1）nn，根据裂项相消法和分组，讨论即可求出前n项和．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．