Question

【题目】如图，设抛物线 ： 的准线 与 轴交于椭圆 ： 的右焦点 ， 为 的左焦点．椭圆的离心率为 ，抛物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长交 于点 ， 为 上一动点，且在 ， 之间移动．

（1）当 时，求 的方程；

（2）若 的边长恰好是三个连续的自然数。求到直线距离的最大值以及此时 的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，此时.

【解析】

(1)根据题意得到，，则 ，，因为 ,从而求出参数值，进而得到方程；（2）联立椭圆和抛物线得到点P的坐标，由椭圆定义得到，，，又 的边长恰好是三个连续的自然数，所以 ，此时联立直线PQ和抛物线方程求得点Q的坐标，，设出点M的坐标得到直线 的距离为 ，则 ，结合二次函数的特点得到最值.

（1） 因为 ，，则 ，，因为 ，所以，，

所以椭圆 的方程为 ．

（2） 因为 ，，则 ，，设椭圆的标准方程为 ，，，由 得 ，

所以 或 （舍去），代入抛物线方程得 ，

即 ，于是 ，，，

又 的边长恰好是三个连续的自然数，所以 ．

此时抛物线方程为 ，，，

则直线 的方程为 ，

联立

得 或 （舍去），

于是 ，

所以 ，

设 到直线 的距离为 ，则 ，

当 时，，此时