Question

【题目】设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：

①存在使得是直角三角形；

②存在使得是等边三角形；

③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是( )

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB＝AC．

现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB＝AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的．至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可

我们不妨先将 A、B、C按如图所示放置．

容易看出此时BC＜AB＝AC．

现在，将A和B往上移，

并且总保持AB＝AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），

而当A、B 移得很高很高时，

不难想象△ABC 将会变得很扁，

也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．

于是，在移动过程中，

总有一刻，使△ABC成为等边三角形，

亦总有另一刻，使△ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）．

这样，就得到①和②都是正确的．

至于③，如图所示．

为方便书写，称三条两两垂直的棱所公共顶点为．

假设A是，

那么由 AD⊥AB，AD⊥AC，

知 L3⊥△ABC，

从而△ABC三边的长就是三条直线的距离4、5、6，

这就与AB⊥AC 矛盾．

同理可知D是时也矛盾；

假设C是，

那么由BC⊥CA，BC⊥CD，

知BC⊥△CAD，

而 l1∥△CAD，故 BC⊥l1，

从而BC为l1与l2的距离，

于是 EF∥BC，EF＝BC，这样就得到EF⊥FG，矛盾．

同理可知B是时也矛盾．

综上，不存在四点Ai（i＝1，2，3，4），

使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．

故选C．