Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为.

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式得出，再由椭圆的准线方程得出，联立求解即可得出椭圆方程；

(2)求出直线BF的方程，联立椭圆方程与直线BF的方程，求出点P的坐标，再由A，P两点的坐标求出斜率即可.

解：(1)由题意知，直线l的方程为，即，

所以右焦点F到直线l的距离为，所以——①

又椭圆C的右准线方程为x＝4，即，所以——②

联立①②解得a＝2，c＝1所以

所以椭圆C的标准方程为.

(2)由(1)知．

所以直线BF的标准方程为

联立方程组，得

解得或(舍)．

即 ，所以直线l的斜率.