Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，

（I）若，函数

①求函数的单调区间

②若函数的值域为,求实数的取值范围

（II）若存在实数,使得，且，求证：

Answer 1

【答案】（1）①详见解析②实数的取值范围是；（2）；

【解析】试题分析：（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；

（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，]递减，在[，+∞）递增，设，则有，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．

试题解析：

（1）当时， .

①.

由得，由得.

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

②

当时， ，所以在区间上单调递减；

当时， ，所以在区间上单调递增.

在上单调递减，值域为,

因为的值域为，所以，

即.

由①可知当时， ，故不成立.

因为在上单调递减，在上单调递增，且

所以当时， 恒成立，因此.

当时， 在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在上的值域为，即.

在上单调递减，值域为.

因为的值域为，所以，即.

综合1°,2°可知，实数的取值范围是.

（2）.

若时， ，此时在上单调递增.

由可得，与相矛盾，

同样不能有.

不妨设，则有.

因为在上单调递减，在上单调递增，且，

所以当时， .

由，且，可得

故.

又在单调递减，且，所以，

所以，同理.

即解得，

所以.