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    已知二次函数f（x）=ax2+bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点，
    （1）求f（x）的解析式；
    （2）若函数g（x）=f（x）+
    k
    x
    +
    1
    2
    x2在 （0，
    		6
    3
    ]上是单调减函数，求实数k的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先根据f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b为偶函数，得出a，b的一个关系式，再由函数f（x）有且仅有一个不动点，转化为方程f（x）=x有且仅有一个解，即可求得a值，从而写出f（x）的解析式；
    （2）由于g（x）=f（x）+
    k
    x
    +
    1
    2
    x2=x+
    k
    x
    在（0，
    		6
    3
    ]上是单调减函数，分类讨论：当k≤0时，当k＞0时，利用函数的单调性即可求得实数k的取值范围；
    （3）先利用二次函数的性质得到：f（x）在区间[m，n]上是单调增函数，列出关于m，n的方程式：
    f(m)=km
    f(n)=kn
    ，此式说明方程-
    1
    2
    x2+x=kx    的两根为0，2-2k结合方程思想即可解决．
    解答：解：（1）f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b为偶函数，
    ∴2a+b=0，∴b=-2a，
    ∴f（x）=ax2-2ax，（2分）
    ∵函数f（x）有且仅有一个不动点，
    ∴方程f（x）=x有且仅有一个解，
    ∴ax2-（2a+1）x=0有且仅有一个解，
    ∴2a+1=0，a=-
    1
    2
    ，
    ∴f（x）=-
    1
    2
    x2+x（5分）
    （2）g（x）=f（x）+
    k
    x
    +
    1
    2
    x2=x+
    k
    x
    在（0，
    		6
    3
    ]上是单调减函数，
    当k≤0时，g（x）=x+
    k
    x
    在（0，+∞）上是单调增函数，
    ∴不成立；（7分）
    当k＞0时，g（x）=x+
    k
    x
    在（0，
    		k
    ]上是单调减函数，
    ∴
    		6
    3
    ≤
    		k
    ，
    ∴k≥
    2
    3
    （10分）
    （3）∵f（x）=-
    1
    2
    x2+x=-
    1
    2
    （x-1）2+
    1
    2
    ≤
    1
    2
    ，
    ∴kn≤
    1
    2
    ，
    ∴n≤
    1
    2k
    ≤
    3
    4
    ＜1，
    ∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分）
    ∴
    f(m)=km
    f(n)=kn
    ，即
    -
    1
    2
    m2+m=km
    -
    1
    2
    n2+n=kn
    ，
    方程-
    1
    2
    x2+x=kx    的两根为0，2-2k（12分）
    当2-2k＞0，即
    2
    3
    ≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]（13分）
    当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
    当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）
    点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的性质、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
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    f(x)x-1
    ．
    （1）求a的值；
    （2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；
    （3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

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