Question

【题目】已知抛物线，过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线在第一象限交于点，的面积为，其中为坐标原点．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若，，为抛物线上的两个不同的点，直线，的斜率分别为，，且，求点到直线的距离的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由得，由三角形面积求得，得抛物线方程；

（2）设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，

设，，由韦达定理得，，把此结果代入，可得的关系式，从而求得的取值范围，由点到直线距离公式求得点到直线的距离，表示为的函数，再利用换元法和函数的性质得出其范围．

（1）由题意知，，，

将代入，得，故，

所以的面积为，所以，

所以抛物线的标准方程为．

（2）由题意可设直线的方程为，

联立方程，得，消去得，，则，

设，，易知，均不与原点重合，则．

，，

因为，所以，

即，即，

代入，得，解得或，

所以点到直线的距离，

令，其中或，则或，

所以，

即点到直线的距离的取值范围为．