Question

【题目】如图，梯形中，，，，沿对角线将折起，使点在平面内的射影恰在上.

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证明，可得AB⊥CD，再利用AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD；

（Ⅱ）求出，利用向量夹角公式，可求异面直线BC与AD所成的角；

（Ⅲ）求出平面ACD的法向量，平面ABD的法向量，利用向量夹角公式，可求二面角B﹣AD﹣C的平面角；

（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，∴AC2+DC2＝AD2，∴AC⊥DC．

又BO⊥平面ACD，AC平面ACD，∴BO⊥AC，又AB＝CB，∴O为AC中点．

以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x，z轴，以过O且平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系．

则，

∴，，∴，∴AB⊥CD，

又AB⊥BC，BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD；

（Ⅱ）∵，∴，

∴，即异面直线BC与AD所成的角为60°；

（Ⅲ）平面ACD的法向量为．

设平面ABD的法向量为，则，即，解得，取z＝1，∴．

设二面角B﹣AD﹣C的平面角为θ，则．