Question

【题目】如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，，.

（1）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论.

（2）设点为棱的中点，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）当点为上底面圆的圆心时，证明见解析.（2）

【解析】

（1）当点为上底面圆的圆心时，平面，取上底面圆的圆心为，连接，，，，先证明四边形为平行四边形，可得到，然后可得四边形为平行四边形，然后得到即可.

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，算出平面的法向量，平面的一个法向量为，然后算出答案即可.

（1）当点为上底面圆的圆心时，平面.

证明如下：

如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，

则，.

所以四边形为平行四边形，

所以，所以.

又，所以四边形为平行四边形，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

故点为上底面圆的圆心时，平面.

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

于是可得，，，，，，

所以，.

设平面的一个法向量为，

由，得.

令，则可取.

取平面的一个法向量为.

设平面与平面所成的锐二面角为，则

，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.