如图，四边形
与
均为菱形，设
与
相交于点
，若
，且
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）证明过程详见解析；（2）余弦值为
.
解析试题分析：本题主要考查线面平行、面面平行、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据菱形的定义得
，
，再根据线面平行的判定得
，
，再根据面面平行的判定得面
面
，从而证明；第二问，先根据已知条件得建立空间直角坐标系的最基本的条件，即
两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面
和平面
的法向量，利用夹角公式求出夹角并判断二面角为锐二面角，所以所求余弦值为正值.
试题解析：(1) 证明：因为四边形与均为菱形，
所以，.
因为
，
，
所以， 2分
又
，
，
，
所以
又
，
所以 4分
(2) 连接
、
,因为四边形为菱形，且
，所以
为等边三角形，
因为为中点.所以
，
又因为为中点,且，
所以
又
，所以
.6分
由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
设
，因为四边形为菱形，
，
则
，
，
，
所以
..8分
所以
设平面
的一个法向量为
，
则有
,所以
，令
，则
因为
，所以平面
的一个法向量为
.10分
因为二面角为锐二面角，设二面角的平面角为
则
所以二面角的余弦值为 ..12分
考点：1.线面平行的判定；2.面面平行的判定；3.空间向量法；4.夹角公式.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，
是圆柱体
的一条母线，
过底面圆的圆心
，
是圆上不与点
、
重合的任意一点，已知棱
，
，
．
（1）求证：
；
（2）将四面体
绕母线转动一周，求
的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为正三角形，且侧面AA1C1C是边长为2的正方形,E是
的中点,F在棱CC1上。
（1）当
CF时，求多面体ABCFA1的体积；
（2）当点F使得A1F+BF最小时，判断直线AE与A1F是否垂直，并证明的结论。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点
（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2，AB=
，求三棱锥C一A1DE的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,
是
的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求证:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出该几何体的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知四棱锥
平面
，底面为直角梯形，
，且
,
.
（1）点
在线段
上运动，且设
，问当
为何值时，
平面
，并证明你的结论；
（2）当面，且
，
求四棱锥
的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上中点，F是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.
（1）求证：CF∥平面AEB1；（2）求三棱锥C－AB1E的体积.
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的底面是正方形，
底面
，
，
，点
、
分别为棱
、
的中点.
平面
；
平面
；
的体积.