Question

如图6-11所示，坐标系xOy所在的竖直面内，有垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x＜0的空间内，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强为E.一个带正电的油滴经图中x轴上的M点沿着与水平方向成α=30°的方向斜向下做直线运动，直到进入x＞0的区域.要使油滴在x＞0的区域在竖直面内做匀速圆周运动，并通过x轴上的N点，且，则

图6-11

(1)带电粒子运动的速率为多少？

(2)在x＞0的区域需加何种电场？

(3)粒子从M点到N点所用的时间为多少？

Answer 1

解析：油滴在x＜0的区域内运动时受恒定的电场力和恒定的重力及洛伦兹力作用.由于电场力和重力两力的合力恒定，其在垂直于油滴速度方向的分力亦恒定，而洛伦兹力始终和速度方向垂直，因此欲使油滴做直线运动，其在速度的垂直方向上所受合外力应为零，可见油滴所受洛伦兹力应为恒力.所以，油滴在x＜0区域内的直线运动应为匀速运动.利用共点力平衡条件可求出油滴所受的洛伦兹力，继而可求出其运动速率.

油滴在x＞0的区域做匀速圆周运动，由做匀速圆周运动的条件——合外力大小恒定且始终和速度方向垂直知，只有除洛伦兹力以外的其他恒力——重力和电场力的合力为零，由此可断定x＞0区域内电场方向应竖直向上，且应满足qE=mg，从而可求出E=mg/q.至于所求时间，应分段予以计算，先由几何关系求出半径和的关系，可求出油滴在x＜0区域内的运动时间t₁，再根据几何关系求出油滴在x＞0区域内所做匀速圆周运动对应的圆心角，利用周期和油滴在x＞0区域内做圆周运动时间的关系可求其运动时间t₂，t₁、t₂相加即为所求时间.

解：(1)带电油滴在x＜0的区域内受重力mg、电场力F₁=Eq和洛伦兹力F₂的作用，因油滴沿直线运动，故洛伦兹力F₂的方向不变.因重力mg、电场力F₁是恒定的，则F₂一定恒定，因此油滴速度不变，其受力如图6-12所示.油滴带正电，由平衡条件知

图6-12

mg=Eq·cotα①

Bqv=②

解得v=.

(2)带电油滴进入x＞0的区域后做匀速圆周运动，除受重力mg和洛伦兹力F₂外，一定要受电场力F₁′的作用，且F₁′=E₁q=mg③

由①③得E₁=Ecotα=3E，此为x＞0区域内电场强度的大小，因粒子带正电，E₁的方向应竖直向上.

(3)油滴在复合场中的运动轨迹如图6-13所示，过P作PO′⊥MP，则圆心必在PO′上.因∠PNO₁=∠O₁PN(O₁为PO′与x轴的交点)，则O₁即为圆心位置.设半径为R，有2×Rcos30°=R

图6-13

又Bqv=m  =.设从M→P的时间为t₁则t₁=，设从P→N的时间为t₂

则由几何知识知油滴在x＞0区域内由P到N所做圆周运动对应的圆心角∠PO₁N=120°，所以对应的时间t₂=T=

因此油滴从M→N运动的总时间t=t₁+t₂=.又由①②可得，所以t=.