Question

磁聚焦被广泛的应用在电真空器件中，如图所示，在坐标xoy中存在有界的匀强聚焦磁场，方向垂直坐标平面向外，磁场边界PQ直线与x轴平行，距x轴的距离为

2 3 a

3

，边界POQ的曲线方程为y=

x(a-x)

a2 3 -x2

．且方程对称y轴，在坐标x轴上A处有一粒子源，向着不同方向射出大量质量均为m、电量均为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同均为v，粒子通过有界的匀强磁场后都会聚焦在x轴上的F点．已知A点坐标为（-a，0），F点坐标为（a，0）．不计粒子所受重力和相互作用求：
（1）匀强磁场的磁感应强度；
（2）粒子射入磁场时的速度方向与x轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运动时间最长，最长对间为多少？

Answer 1

（1）设磁场的磁感应强度为B，粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，圆心为C，从D处射出磁场，其坐标为（x，y），因Rt△CED相似于Rt△DGF
可得

y

x

=

a-x

r2-x2

且POQ的曲线方程为y=

x(a-x)

a2 3 -x2

解得：r=

3

3

a
因r=

mv

qB

解得：B=

3 mv

aq

（2）设粒子射入磁场时的速度方向与x轴夹角为θ时，粒子在磁场中运动的轨迹与PQ相切，则运动的时间最长，最长时间为t，由几何知识得

2 3 a

3

=r+y-rcosθ x=rsinθ
解得：sinθ=

3

2

θ=60°=

π

3

且t=

αm

qB

解得：t=

2θm

qB

=

2 3 πa

9v

答：（1）匀强磁场的磁感应强度为

3 mv

qa

；
（2）粒子射入磁场时的速度方向与x轴的夹角为

π

3

时，粒子在磁场中运动时间最长，最长对间为

2 3 πa

9v

．