1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义--共线；③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

1、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：

运　 算	图形语言	符号语言	坐标语言
加法与减法		+= -=	记=(x1,y1)，=(x1,y2) 则+=(x1+x2,y1+y2) 　 -=(x2-x1,y2-y1)
	+=
实数与向量 的乘积		=λ λ∈R	记=(x,y) 则λ=(λx,λy)
两个向量 的数量积		.=|||| cos<,>	记=(x1,y1), =(x2,y2) 则.=x1x2+y1y2

2、运算律

加法：+=+，(+)+=+(+)

实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)

两个向量的数量积：.=.；(λ).=.(λ)=λ(.)，(+).=.+.

说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)²=

3、重要定理、公式

　 (1)平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ₁，λ₂，满足=λ₁+λ₂，称λ₁λ+λ₂为，的线性组合。

根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ₁,λ₂)一一对应，称(λ₁,λ₂)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ₁，λ₂)为向量的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x,y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则=(x₂-x₁,y₂-y₁)

　 (2)两个向量平行的充要条件

符号语言：若∥，≠，则=λ

坐标语言为：设=(x₁,y₁)，=(x₂,y₂)，则∥(x₁,y₁)=λ(x₂,y₂)，即，或x₁y₂-x₂y₁=0

在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。

|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

　 (3)两个向量垂直的充要条件　　 符号语言：⊥.=0

坐标语言：设=(x₁,y₁), =(x₂,y₂)，则⊥x₁x₂+y₁y₂=0

　 (4)线段定比分点公式

如图，设　

则定比分点向量式：

定比分点坐标式：设P(x,y)，P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)

则

特例：当λ=1时，就得到中点公式： ，

实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，(O与P₁P₂不共线)，总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。

　 (5)平移公式：

①点平移公式，如果点P(x，y)按=(h，k)平移至P’(x’，y’)，则

分别称(x，y)，(x’，y’)为旧、新坐标，为平移法则

在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标

②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=(h，k)平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)

当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质

　 (6)正弦定理，余弦定理

正弦定理：余弦定理：a²=b²+c²-2cbcosA　 b²=c²+a²-2cacosB c²=a²+b²-2abcosc

定理变形：cosA=，cosB=，cosC=

5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。

　　 例1、如图，，为单位向量，与夹角为120⁰， 与的夹角为45⁰，||=5，用，表示。解题思路分析：

以，为邻边，为对角线构造平行四边形

把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0则=λ+μ∵ ||=||=1∴ λ=||，μ=||

△OEC中，∠E=60⁰，∠OCE=75⁰，由得：

　∴

∴

说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理

例2、已知△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。

解题思路分析：用解方程组思想设D(x，y)，则=(x-2，y+1)∵=(-6，-3)，.=0

∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0　　　 ①∵=(x-3，y-2)，∥∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0　　　 ②

由①②得：∴ D(1，1)，=(-1，2)

例3、求与向量=，-1)和=(1，)夹角相等，且模为的向量的坐标。　

解题思路分析：用解方程组思想法一：设=(x，y)，则.=x-y，.=x+y

∵ <，>=<，>∴ ∴ 即　　　　　 ①

又||=∴ x²+y²=2　　　　　　　　 ②

由①②得　 或(舍)∴=

法二：从分析形的特征着手

∵ ||=||=2　 .=0

∴ △AOB为等腰直角三角形，如图∵ ||=，∠AOC=∠BOC∴ C为AB中点∴ C()

说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。

例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。

解题思路分析：∵ B、P、M共线∴ 记=s

∴ 　①

同理，记∴ =　　　　　　　　　　 ②∵ ,不共线

∴ 由①②得解之得：∴

说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数(如s，t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。

例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点

(1)利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=45⁰；

(2)若∠PED=45⁰，求证：P、D、C、E四点共圆。

解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系

则C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)设P(0，y)∴ =(1，3)，=(-1，y)

∴ 　.=3y-1代入cos45⁰=

解之得(舍)，或y=2∴ 点P为靠近点A的AB三等分处

(3)当∠PED=45⁰时，由(1)知P(0，2)∴ =(2，1)，=(-1，2)

　∴.=0∴ ∠DPE=90⁰又∠DCE=90⁰∴ D、P、E、C四点共圆

说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。

(一)　 选择题

1、平面内三点A(0，-3)，B(3，3)，C(x，-1)，若∥，则x的值为：

A、 -5　　　　　　 　 B、-1　　　　　　 　 C、1　　　 　　　　　　　 D、5

　　 2、平面上A(-2，1)，B(1，4)，D(4，-3)，C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：　　 A、(-8，)　 B、()　　 　 C、(0，1)　 D、(0，1)或(2，)

2、点(2，-1)沿向量平移到(-2，1)，则点(-2，1)沿平移到：

3、A、(2，-1)　　 B、(-2，1)　　　 　 C、(6，-3)　　　　 　　 D、(-6，3)

4、△ABC中，2cosB.sinC=sinA，则此三角形是：

A、 直角三角形　　　 B、等腰三角形　　 　 C、等边三角形　　 　　　 D、以上均有可能

5、设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：

①(.)-(.)=0　　　　　 ②||-||<|-|

③(.)-(.)不与垂直　 ④(3+2).(3-2)=9||²-4|²中，真命题是：

A、①②　　　　　　 B、②③　　　　　 　 C、③④　　　　　 　　　 D、②④

6、△ABC中，若a⁴+b⁴+c⁴=2c²(a²+b²)，则∠C度数是：

A、60⁰　　　　　 　 B、45⁰或135⁰　　　　 C、120⁰　　　　　　 　　 D、30⁰

7、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在

A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上

8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=(0，3)，=(4，0)，则=

A、()　　 B、()　　　 　　　 C、(7，4)　　　 　 D、()

(二)　 填空题

　　 9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。

10、已知||=，||=1，.=-9，则与的夹角是________。

11、设，是两个单位向量，它们夹角为60⁰，则(2-).(-3+2)=____________。

12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。

(三)　 解答题

13、设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。

14、若+=(2，-8)，-=(-8，16)，求、及与夹角θ的余弦值。

15、已知||=，||=3，和夹角为45⁰，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。