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例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200, 与的夹角为450,||=5,用,表示。解题思路分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0则=λ+μ∵ ||=||=1∴ λ=||,μ=||
△OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。
解题思路分析:用解方程组思想设D(x,y),则=(x-2,y+1)∵=(-6,-3),.=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0 ①∵=(x-3,y-2),∥∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0 ②
由①②得:∴ D(1,1),=(-1,2)
例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。
解题思路分析:用解方程组思想法一:设=(x,y),则.=x-y,.=x+y
∵ <,>=<,>∴ ∴ 即 ①
又||=∴ x2+y2=2 ②
由①②得 或(舍)∴=
法二:从分析形的特征着手
∵ ||=||=2 .=0
∴ △AOB为等腰直角三角形,如图∵ ||=,∠AOC=∠BOC∴ C为AB中点∴ C()
说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记= ,=,用 ,表示向量。
解题思路分析:∵ B、P、M共线∴ 记=s
∴ ①
同理,记∴ = ②∵ ,不共线
∴ 由①②得解之得:∴
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点
(1)利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
(2)若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
解题思路分析:利用坐标系可以确定点P位置如图,建立平面直角坐标系
则C(2,0),D(2,3),E(1,0)设P(0,y)∴ =(1,3),=(-1,y)
∴ .=3y-1代入cos450=
解之得(舍),或y=2∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
(3)当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)∴ =(2,1),=(-1,2)
∴.=0∴ ∠DPE=900又∠DCE=900∴ D、P、E、C四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
参考答案
(一)1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A (二)9、 10、 11、 12、y=sinx+1 (三)13、(11,6) 14、=(-3,4),=(5,-12),
15、λ<,或λ>且λ≠1