1. 函数 R) 的最小值是 .
解:令 ,则 .
当 时, ,得 ;
当 时, ,得
又 可取到 , 故填 .
2.手表的表面在一平面上。整点1,2,…,12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点(i+1)的向量记作,则= 。
解:连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角,为30度。各边向量的长为 。 则。共有12个相等项。所以求得数量积之和为 。
3.设,则对任意实数,是的( A )
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
解:显然为奇函数,且单调递增。于是
若,则,有,即,从而有.
反之,若,则,推出 ,即 。
故选A。
4.椭圆的中心,右焦点,右顶点,右准线与轴的交点依次为
,则 的最大值为( ).
不能确定.
答:.
解: .(时取等号)
5.过椭圆 的一个焦点 F作弦AB,则= 。
解:不妨设焦点F为右焦点,则F(4,0)。当ABx轴时,A(4,),B(4,-)
所以=,故=
6.已知常数,经过定点A(0,-a)以(l,a)为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以(1,-2la)为方向向量的直线相交于点P,其中试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.
解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值.
因此,直线AP和BP的方程为
l(y+a)=ax 和 y-a=-2lax.
消去参数l,得点P(x,y)的坐标满足方程y2-a2=-2a2x2,
整理得 . ①
因为a>0,所以得:
(ⅰ)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;
(ⅱ)当时,方程①表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点:
(ⅲ)当时,方程①也表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点.
7.已知A(2cos,),B(2cos,),C(-1,0)是平面上三个不同的点,若存在,使得,试求的取值范围。
解:由已知,可得
(2cos+1, )=(-1-2cos,-),
,,
由=1,得,
即,
若=-1,则,得,这与A,B两点不重合矛盾,
因此,-1,于是,可知0,
,得,
解得3。