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6.已知常数,经过定点A(0,-a)以(l,a)为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以(1,-2la)为方向向量的直线相交于点P,其中试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.
解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值.
因此,直线AP和BP的方程为
l(y+a)=ax 和 y-a=-2lax.
消去参数l,得点P(x,y)的坐标满足方程y2-a2=-2a2x2,
整理得 . ①
因为a>0,所以得:
(ⅰ)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;
(ⅱ)当时,方程①表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点:
(ⅲ)当时,方程①也表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点.