1．(人教A版选修2-3第66页例4)
某射手每次射击击中目标的概率是 
，求这名射手在 10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率；
(2)至少有 8 次击中目标的概率 ？
变式1：某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为
，则他能及格的概率为
．
[解析]：他能及格则要解对4道题中解对3道或4道：解对3道的概率为：
，解对4道的概率为：
，且A与B互斥，他能及格的概率为
．
变式2：设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
(1) 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
(2) 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
[解析](I)设AK表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.
这里，A1，A2，A3独立，且P(A1)=0.7，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5.
从而，至少有一人命中目标的概率为
恰有两人命中目标的概率为
答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44．
(II)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为
答：他恰好命中两次的概率为0.441.
变式3：在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为
已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：
(1) 中国女排在这种情况下取胜的概率；
(2) 求本场比赛只打四局就结束的概率．(均用分数作答)
[解析](1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为
(2) 
变式4： 一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数
为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求
.
[解析]设正面向上的概率为P,依题意:
,1-P=2P,
解得:
,
硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为:
.
2．(人教A版选修2-3第77页例4)
随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数
的均值、方差和标准差。
变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为，现在连续射击4次，求击中目标的次数ξ的概率分布．
[解析]击中目标的次数ξ可能为0，1，2，3，4。
当ξ=0时，
，
当ξ=1时，
，
当ξ=2时，
，
当ξ=3时，
，
当ξ=4时，
，
所以ξ的分布列为：
|
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
P |
 |
 |
 |
 |
 |
变式2：袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．
[解析]ξ的所有可能的取值为：0，1，2．
当ξ=0时，
，
当ξ=1时，
，
当ξ=2时，
，
|
ξ |
0 |
1 |
2 |
|
P |
 |
 |
 |
评述：++=
=1．
变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量
表示所选3人中女生的人数.
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望；
(3)求“所选3人中女生人数
”的概率.
[解析](1)可能取的值为0，1，2。 
．
所以，的分布列为
|
|
0 |
1 |
2 |
|
P |
 |
 |
|
(2)由(1)，的数学期望为
(3)由(1)，“所选3人中女生人数”的概率为
．
变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
[解析](Ⅰ)依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
|
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
 |
 |
 |
 |
甲答对试题数ξ的数学期望
Eξ=0×+1×+2×+3×=
.
(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)=
=
=
，P(B)=
=
=
.
因为事件A、B相互独立，
方法一：
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P(
)=P(
)P(
)=1－)(1－)=
.
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P()=1－=
.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
方法二：
∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P=P(A.)+P(.B)+P(A.B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)
=×
+
×+×=.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
3．(人教A版选修2-3第86页B组2)
若 
，求 
。
变式1：随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ<1)=0.8413，求P(－1<ξ<0).
[解析]∵ξ-N(0，1)，
∴P(－1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=Φ(1)－Φ(0)=0.8413－0.5=0.3413.
变式2：一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(6，22)，投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?
[解析]对第一个方案，有x-N(8，32)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ(
)=1－Φ(－1)=1－［1－Φ(1)]=Φ(1)=0.8413.
对第二个方案，有x-N(6，22)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ(
)=1－Φ(－0.5)=Φ(0.5)=0.6915.
相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.
变式3：在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布
.已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.
(Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人？
(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的(部分)标准正态分布表
 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 |
0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 |
0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 |
0.8888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 |
0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 |
0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 |
0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 |
0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 |
0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 |
0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 |
0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 |
[解析]：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
[解答](Ⅰ)设参赛学生的分数为，因为-N(70，100)，由条件知，
P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－
＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，
参赛总人数约为
≈526(人)．
(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分，则
P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(x)＝1－
＝
＝0.0951，
即＝0.9049，查表得
≈1.31，解得x＝83.1.
故设奖得分数线约为83.1分．
4．(人教A版选修2-3第100页例2)
一只红铃虫的产卵数 
和温度 
有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立 与 之间的回归方程。
温度 |
21 |
23 |
25 |
27 |
29 |
32 |
35 |
产卵数 个 |
7 |
11 |
21 |
24 |
66 |
115 |
325 |
变式1：为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表，
|
学生编号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
数学分数x |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
|
物理分数y |
72 |
77 |
80 |
84 |
88 |
90 |
93 |
95 |
|
化学分数z |
67 |
72 |
76 |
80 |
84 |
87 |
90 |
92 |
(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；
(2) 用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
(3) 求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01)，并用相关指数比较所求回归模型的效果.
参考数据：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
解答：(1) 由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是
. ………………………………………………………………………………………………………3分
(2) 变量y与x、z与x的相关系数分别是
、
. ……………………………………………5分
可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. …………………………6分
(3) 设y与x、z与x的线性回归方程分别是
、
.
根据所给的数据，可以计算出
，
. ……………………………………………………10分
所以y与x和z与x的回归方程分别是
、
. …………………………………………………………11分
又y与x、z与x的相关指数是
、
. ……13分
故回归模型
比回归模型
的拟合的效果好. …14分