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19.(Ⅰ)证明:在平面上的射影为O,
, ……………………2分
点为的中点,,OC=1
又,,∠BOC=45°
同理∠AOD=45°, ∴∠AOB=90°。 ∴……………………4分
,…………………………5分
(Ⅱ)解法一:,
又,AD平面
在平面内,作,垂足为,则。
∴线段的长为点到平面的距离……………………7分
在平面上的射影为。
为侧棱与平面所成的角.
……9分
在中,=。
即点到平面的距离为 ……10分
解法二:∵D1O⊥平面ABCD,∴DD1在平面ABCD上的射影为DO
∴∠D1DO为棱DD1与平面ABCD所成的角, ∴∠D1DO=60° …………7分
∵OD=1, ∴
∴
∵AD⊥DO,AD⊥D1O, ∴AD⊥平面D1DO ∴AD⊥DD1
设点O到平面ADD1A1的距离为h,
则 ………………9分
∵
(Ⅲ)解:如图,作于,
作于,连结
,
又,
又,
为二面角的平面角,……………………13分
在中,,,.
在中,,,
取的中点,连结,则,
,
在中, .
二面角的大小为.………………………………16分