5.设函数f(x)=x3--2x+5.若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是________.
解析:(x)=3x2-x-2=0,x=1,-,
f(-1)=5,f(-)=5,f(1)=3,f(2)=7.
∴m<3.
答案:m∈(-∞,)
●典例剖析
[例1] (2004年天津,20)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
剖析:(1)分析x=±1处的极值情况,关键是分析x=±1左右(x)的符号.
(2)要分清点A(0,16)是否在曲线上.
解:(1)(x)=3ax2+2bx-3,依题意,(1)=(-1)=0,即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x,(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
令(x)=0,得x=-1,x=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则(x)>0,
故f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
若x∈(-1,1),则(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数.
所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.
(2)曲线y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上,设切点M(x0,y0),则y0=x03-3x.
∵(x0)=3x02-3,
∴切线方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0).
代入A(0,16)得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0).
解得x0=-2,∴M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0.
评述:过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键.
[例2] (2004年天津,21)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明:对任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
剖析:∵x∈R且f(x)是奇函数,
∴f(0)=0.
又x=1是极值点,∴(1)=0,由此可得函数的解析式.
(1)解:由奇函数定义,
应有f(-x)=-f(x),x∈R,-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=0.
因此f(x)=ax3+cx,(x)=3ax2+c.
由题意知
解得a=1,c=-3.
∴f(x)=x3-3x,(x)=3x3-3=3(x-1)(x+1),(-1)=(1)=0.
当x∈(-∞,-1)时,(x)>0,故f(x)在单调区间(-∞,-1)上是增函数,
当x∈(-1,1)时,(x)<0,故f(x)在单调区间(-1,1)上是减函数,
当x∈(1,+∞)时,(x)>0,故f(x)在单调区间(1,+∞)上是增函数.
∴(-∞,-1)和(1,+∞)为增区间;
(-1,1)为减区间,x=-1时,f(-1)=2为极大值,
x=-1时,f(1)=-2为极小值.
(2)f(-1)=2,f(1)=-2.
∵f(x)在(-1,1)上是减函数,
∴对任意x1、x2∈(-1,1),有-2<f(x1)<2,-2<f(x2)<2,
-4<f(x1)-f(x2)<4,即|f(x1)-f(x2)|<4.
评述:由奇函数定义可知当x=0时,则有f(0)=0,即函数过原点.对于本题的第(2)问,用数形结合法较为直观.
[例3] 设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根.
(1)求n的值;
(2)求证:f(1)≥2.
剖析:由题知x=0是极值点,那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?
解:(1)(x)=3x2+2mx+n.
∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,
∴当x=0时,f(x)取到极大值.
∴(0)=0.∴n=0.
(2)∵f(2)=0,∴p=-4(m+2),
(x)=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0,x2=-,
∵函数f(x)在[0,2]上是减函数,
∴x2=-≥2.∴m≤-3.
∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.
评述:此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f(1)≥2时,首先将f(1)化成关于m的式子,知道m的范围,便可证之.
[例4] 对于函数y=f(x)(x∈D)若同时满足下列两个条件,则称f(x)为D上的闭函数.
①f(x)在D上为单调函数;
②存在闭区间[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
(1)求闭函数y=-x3符合上述条件的区间[a,b];
(2)若f(x)=x3-3x2-9x+4,判断f(x)是否为闭函数.
剖析:这是个知识迁移题,这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.
解:(1)∵y=-x3,∴y′=-3x2≤0.
∴函数y=-x3为减函数.
故即
∴所求闭区间为[-1,1].
(2)(x)=3x2-6x-9.
由(x)≥0,得x≥3或x≤-1.
由(x)≤0,得-1≤x≤3.
∴f(x)在定义域内不是单调函数.故f(x)不是闭函数.
评述:这类问题是近年高考命题的一个亮点,很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.
●闯关训练
夯实基础