33.曲线有极小值,当处有极大值,且在x=1处切线的斜率为.
(1)求;
(2)曲线上是否存在一点P,使得y=的图象关于点P中心对称?若存在,请求出点P坐标,并给出证明;若不存在,请说明理由.
解:f′(x)=3ax2+2bx+c
∵当x=1±时 f(x)有极小值及极大值
∴f′(1±)=0
即1±为3ax2+2bx+c=0两根
∴b=-3a , c=-6a
又∵f(x)在x=1处切线的斜率为
(2)假设存在P(x0, y0),使得f(x)的图象关于P中心对称,
则f(x0+x)+f(x0-x)=2y0
即-(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x-(x0-x)3+(x0-x)2+x0-x=2y0
化解得
∵对于任意x∈R等式都成立
∴x0=1,
y0=.易知P(1,)在曲线y=f(x)上.
∴曲线上存在P(1,)使得f(x)的图象关于中心对称