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19.(14分)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有
(1)判断f (x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2)解不等式:;
(3)若f (x)≤对所有x∈[-1,1],∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)任取-1≤x1<x2≤1,则
f (x1)-f (x2)= f (x1)+f (-x2)=
∵-1≤x1<x2≤1,∴x1+(-x2)≠0,
由已知>0,又x1-x2<0,
∴f (x1)-f (x2)<0,即f (x)在[-1,1]上为增函数.
(2)∵f (x)在[-1,1]上为增函数,故有
(3)由(1)可知:f(x)在[-1,1]上是增函数,且f (1)=1,故对x∈[-l,1],恒有f(x)≤1.
所以要使f(x)≤,对所有x∈[-1,1], ∈[-1,1]恒成立,
即要≥1成立,故≥0成立.
记g()=对 ∈[-1,1],g()≥0恒成立,只需g()在[-1,1]上的最小值
大于等于零.
故解得:t≤-2或t=0,或