顺义区2009年九年级第一次统练
数学试卷
考
生
须
知
１.试卷满分120分，考试时间120分钟.
２.考生需认真填写答题纸密封线内的学校、姓名和准考证号.
３.考生要按规定的要求在答题纸上作答，题号要对应，答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答.
4.考试结束后，将答题纸由监考教师收回.
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1. 
的相反数是
A．
B．
C． 
D．
2. 下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是
A. B. C. D.
3.已知: 如图，直线
，点
在直线
上，且
，
，则
的度数为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4. 下列运算正确的是
A．
B．
C．
D． 
5. 下列说法正确的是
A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是
B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次
C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数
D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖
6.把代数式
分解因式,下列结果中正确的是
A． 
B．
C．
D．
7. 抛物线
的顶点坐标是
A．( 1, －1) B．( 1, －2) C．(－1, －3) D．( 1, －3)
8. 如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B
C D A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为
A．32 B．
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9. 若分式
的值为零, 则
的值为
.
10. 一个布袋里装有4个红球、3个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是
.
11. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝
12. 已知某函数的图象经过点A (1 , 2) ,且函数
的值随自变量的值的增大而减小, 请你写出一个符合条件的函数表达式
.
三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分）
13. 计算: 
14. 解不等式组 
, 并写出不等式组的整数解.
15.已知反比例函数
的图象与一次函数
的图象交于
点A(－2, 3 ) 、B( 1 , 
) ，求反比例函数和一次函数的解析式.
16. 已知：如图，点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F.
求证：DF=AE.
17. 已知： 
，求代数式
的值.
四、解答题（共2道小题，每小题5分，共10分
18. 已知：如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，
为等腰梯形
底边
上一点，
，
.
(1) 求等腰梯形OBCD的周长；
(2) 求点的坐标．
19. 已知：如图，⊙O的直径
=
是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为
，连接
．
(1) 若
，求阴影部分的面积；
(2)若点在的延长线上运动，
的平分线交于点，∠
的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．
五、解答题（本题满分6分）
20. 在学校组织的“我的家乡知多少？”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为
四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中二班成绩在级以上（包括级）的人数为
；
（2）请你将表格补充完整：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
87.6
90
二班
87.6
100
（3）请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩；
③从
级以上（包括级）的人数的角度来比较一班和二班的成绩．
六、解答题 （共2道小题，每小题5分，共10分）
21. 某商店用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元，其进价和售价如下表：
甲
乙
进价（元/件）
120
100
售价（元/件）
138
120
（1）该商店购进甲、乙两种商品各多少件；
（2）商店第二次以原进价购进甲、乙两种商品．购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
22. 取一副三角板按图①拼接，固定三角板
，将三角板
绕点
依顺时针方向旋转一个大小为
的角
得到
，如图所示．
试问：（1）当为多少度时，能使得图②中
？
（2）连结
，当
时，探寻
值的大小变化情况，并给出你的证明．
七、解答题（本题满分7分）
23. 已知：关于的一元二次方程
．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根
满足
，求的值．
八、解答题（本题满分7分）
24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
经过A(2,0)，B(1,n) ，
C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC的长；
（3）求
的度数．
九、解答题（本题满分7分）
25. 已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
顺义区2009年九年级第一次统练
选择题
1-5. CDCBA 6-8. BDC
填空题
9. －2 ; 10. 
; 11. 7 ; 12. 
（不唯一） .
解答题
13. 解：原式=
-------------------------------------------------------------4分
=
-----------------------------------------------------------------------------5分
14. 解： 不等式 
的解集是
-----------------------------------------1分
不等式 
的解集是
-------------------------------------------------2分
所以，此不等式组的解集是
---------------------------------------------4分
整数解为 ?2 ，?1 ， 0 ，1 . --------------------------------------------5分
15. 解: 由题意,得 
, ∴ 
∴ 反比例函数的解析式为
----------------------------------------------------2分
∵ 点
在反比例函数图象上
∴ 
---------------------------------------------------------------------------------3分
又∵ 一次函数
的图象过点
、
∴
-----------------------------------------------------------------------------4分
∴
所以一次函数的解析式为
-----------------------------5分
16. 证明：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°， DA=AB. ------------------------1分
∵DG⊥AE，
∴∠FDA +∠DAG=90°. --------------------------------------------------------------2分
又∵∠EAB+∠DAG=90°，
∴∠FDA =∠EAB. -----------------------------------------------------------------------3分
∴△DAF≌△ABE， ----------------------------------------------------------------------4分
∴DF=AE. ------------------------------------------------------------------------------5分
17. 解：
∵
∴
---------------------------------------------------------------------------------2分
∴
-----5分
18. 解：
（1）过点D作DE⊥OB于E，过点C作CF⊥OB于F.
∵四边形OBCD是等腰梯形，OD=BC ,
∴ Rt△ODE≌Rt△BCF ,四边形CDEF是矩形.
∴ OE=BF , DC=EF .----------------------------------------------------------------------------1分
∵ OD=BC=2, OB=5, ∠BOD=60°,
∴ OE=BF=1 , DC=EF=3.
∴ 梯形OBCD的周长是12 --------------------------------------------------------------------2分
(2) 设点M的坐标为
,联结DM和CM.
∵ ∠BOD=∠COD=∠OBC=60°
∴ ∠ODM+∠OMD=∠BMC+∠OMD=120°
∴ ∠ODM=∠BMC --------------------------------------------------------------------------------3分
∵ △OMD∽△BCM
∴ 
∴ 
--------------------------------------------------------------------------------------4分
∴ 
∴ 点M的坐标为(1, 0) 或(4,0) ----------------------------------------------------------------5分
19. 解：(1) 联结OC. ∵ PC为⊙O的切线 ,
∴ PC⊥OC .
∴ ∠PCO=90°. ----------------------------------------------------------------------1分
∵ ∠ACP=120°
∴ ∠ACO=30°
∵ OC=OA ,
∴ ∠A=∠ACO=30°.
∴ ∠BOC=60°--------------------------------------------------------------------------2分
∵ OC=4
∴ 
∴ 
-------------------------------------------3分
(2) ∠CMP的大小不变，∠CMP=45° --------------------------------------------------4分
由（1）知 ∠BOC+∠OPC=90°
∵ PM平分∠APC
∴ ∠APM=
∠APC
∵ ∠A=∠BOC
∴ ∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)= 45°---------------------------5分
20. 解：（1）21 -------------------------------------- 1分
（2）一班众数为90，二班中位数为80?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（3）①从平均数的角度看两班成绩一样，从中位数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好； 4分
②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看二班比一班的成绩好，所以二班成绩好； 5分
③从
级以上（包括级）的人数的角度看，一班人数是18人，二班人数是12人，所以一班成绩好． 6分
21.解：（1）设购进甲种商品
件，乙种商品
件．
根据题意，得
-------------------------------------------2分
化简，得
解之，得
答：该商场购进甲、乙两种商品分别为200件和120件． ------------------------------------3分
（2）甲商品购进400件，获利为
（元）．
从而乙商品售完获利应不少于
（元）．
设乙商品每件售价为元，则
．--------------------------------------------4分
解得
．所以，乙种商品最低售价为每件108元．------------------------------------5分
22.（1）由题意
，
要使
，须
，
．
，
即
时，能使得．------------------------------------------------------------2分
(2）
的值的大小没有变化, 总是105°.-------------------3分
当
时，总有
存在．
，
又
，
．
又
，
．------------------------------------------------------5分
23. 解：（1）
---------------------------------------------1分
---------------------------------------------------------------------------------2分
不论
取何值，方程总有两个不相等实数根 -------------------------------------------3分
（2）由原方程可得
∴ 
--------------------------------------------------------------4分
∴ 
---------------------------------------------------------------------------------5分
又∵ 
∴ 
∴ 
---------------------------------------------------------------------------------6分
经检验：符合题意．
∴ 的值为4． ----------------------------------------------------------------------7分
24. 解：（1）∵抛物线
经过点A(2,0)， C（0，2），
∴
解得 
∴抛物线解析式为
---------------------2分
（2）
∵点B(1,n)
在抛物线上
∴ 
-----------------------------------3分
过点B作BD⊥y轴，垂足为D.
∴BD=1 , CD=
∴ BC=2 --------------------------------------------4分
（3） 联结OB.
在Rt△BCD中, BD=1 ,BC=2 ,
∴∠BCD=30° ----------------------------------------5分
∵ OC=BC
∴∠BOC=∠OBC
∵∠BCD=∠BOC+∠OBC
∴∠BOC=15°
∴∠BOA=75°------------------------------------------6分
过点B作BE⊥OA , 垂足为E，则OE=AE.
∴OB=AB
∴∠OAB=∠BOA=75°.-------------------------------7分
25.（1）BM=DM ，BM⊥DM --------------------------------------------------------1分
证明：在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，
∴ 
．
∴ ∠EMB=2∠ECB．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，
∴ 
．
∴ ∠EMD=2∠ECD．-------------------2分
∴ BM=DM，∠EMD＋∠EMB =2（∠ECD＋ECB）．
∵ ∠ECD＋∠ECB=∠ACB=45°，
∴ ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM． -------------------------------3分
（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时， （1）中的结论成立．
证明：
连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．
-------------------------------------4分
∵ DM=MF，EM=MC，
∴ 四边形
是平行四边形.
∴ DE∥CF ，ED =CF，
∵ ED= AD,
∴ AD=CF.
∵ DE∥CF，----------------------------------------5分
∴ ∠AHE=∠ACF．
∵ 
,
，
∴ ∠BAD=∠BCF. --------------------------------------------------6分
又∵AB= BC,
∴ △ABD≌△CBF.
∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF.
∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC =90°.
在Rt△
中，由
,
，得BM=DM且BM⊥DM． -------7分
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