1．复数是虚数单位的实部是

A．           B．         C．           D．

2.已知等差数列的公差为，且，若，则为

A．           B.           C．          D.

3.已知直线⊥平面，直线平面，下面有三个命题：

①∥⊥；②⊥∥；③∥⊥； 则真命题的个数为

A．            B．          C．        　D．

4．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图

都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是

A．      B.    C．        D.

5．设点，则为坐标原点的最小值是

A．       B.         C．         D.  

6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有人，则的值为

A．　          B.

C．　　　　　　 D.

7.已知的二项展开式的各项系数和为，则二项展开式中的系数为

A．　    B.           C．        D.

8．若右面的程序框图输出的是，则①应为

A．？　       B.？         

C．？         D.？

9.已知，则“”是“恒成立”的

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

10.设函数，则下列结论正确的是

 A．的图像关于直线对称        

B．的图像关于点对称

 C．把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像

D．的最小正周期为，且在上为增函数

11．已知点、分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为

A．             B.          C．        　D.

12.已知直线及与函数图像的交点分别为，与函数图像的交点分别为，则直线与

A.相交，且交点在第I象限       B.相交，且交点在第II象限 

C.相交，且交点在第IV象限      D.相交，且交点在坐标原点

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

13．         ；

14．已知，则的值为         ；          

15．已知集合,从集合中任选三个不同的元素组成集合，则能够满足的集合的概率为=           ；

16．定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.

17. （本小题满分12分）

在中，分别是的对边长，已知.

(Ⅰ)若,求实数的值;

(Ⅱ)若,求面积的最大值.

18．（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽

得两张卡片的标号分别为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．

(Ⅰ)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

已知函数且,求函数的极大值与极小值.

20．（本小题满分12分）

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

(Ⅰ)当时，求证：；

(Ⅱ) 若边上有且只有一个点，使得，

求此时二面角的余弦值.

21．（本小题满分12分）

已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.

22．（本小题满分14分）

已知等比数列的前项和为

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．

青岛市2009年高三教学统一质量检测 

     数学（理）答案及评分标准  2009.3

17. 解:(Ⅰ) 由两边平方得:

即

解得: …………………………3分

而可以变形为

即 ，所以…………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,则…………………………7分

又…………………………8分

所以即…………………………10分

故………………………………12分

18．解:(Ⅰ)、可能的取值为、、，，，

，且当或时，． 因此，随机变量的最大值为…………………………4分

 有放回抽两张卡片的所有情况有种，…………………6分       

(Ⅱ)的所有取值为．

时，只有这一种情况．

 时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，…………………………8分   

则随机变量的分布列为：

………………10分

因此，数学期望…………………………12分

19．解：由题设知

令……………………………2分

当时，随的变化，与的变化如下：

0

+

0

-

0

+

极大

极小

，………6分

当时，随的变化，与的变化如下：

-

0

+

0

-

极小

极大

，…………11分

总之，当时，，；

当时，，……12分

20. 解：(Ⅰ)当时，底面为正方形，

又因为,面…………………………2分

又面

…………………………3分

(Ⅱ) 因为两两垂直，分别以它们所在直线

为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，

则…………………4分

设，则

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点使得

当且仅当，即时，

边上有且只有一个点，使得

由此可知…………………………8分

设面的法向量

则即解得…………………………10分

取平面的法向量

则的大小与二面角的大小相等

所以

因此二面角的余弦值为…………………………12分

21. 解:(Ⅰ)因为，所以有

所以为直角三角形；…………………………2分

则有

所以，…………………………3分

又，………………………4分

在中有

即，解得

所求椭圆方程为…………………………6分

 (Ⅱ)

从而将求的最大值转化为求的最大值…………………………8分

是椭圆上的任一点，设，则有即

又，所以………………………10分

而,所以当时，取最大值

故的最大值为…………………………12分

22．解：（Ⅰ）由得:时，

………………………2分

是等比数列，，得 ……4分

（Ⅱ）由和得……………………6分

……10分

………………………11分

当或时有，所以当时有

那么同理可得：当时有，所以当时有………………………13分

综上：当时有；当时有………………………14分