1．等腰三角形的对称轴是（  ）

    A．顶角的平分线       B．底边上的高

    C．底边上的中线       D．底边上的高所在的直线

2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（  ）

    A．17cm     B．22cm     C．17cm或22cm     D．18cm

3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（  ）

    A．40°    B．50°    C．60°    D．30°

4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（  ）

    A．100°    B．100°或40°    C．40°    D．80°

5．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（  ）

A．80°    B．90°    C．100°    D．108°

6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度．

7．等腰三角形“三线合一”是指___________．

8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．

9．如图，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF的度数是_____．

10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上

    （1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；

    （2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；

    （3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．

11．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm，求AD的长．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC.

13．已知△ABC中AB=AC，点P是底边的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，

求证：PD=PE.

14．如图，CD是△ABC的中线，且CD= AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．

答案:

1．D  2．B  3．A  4．C  5．B  6．60

7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

8．（90+ n）°  9．70°  10．略  11．6cm

12．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC

13．连接AP，证明AP平分∠BAC．

14．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

练习题

(第二课时)

1．如图1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（  ）

A．3cm     B．4cm     C．1.5cm     D．2cm

           （1）                  (2)                        (3)

2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（  ）

    A．1个     B．2个     C．3个    D．4个

3．如图2，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（  ）

A．①②③    B．①②③④    C．①②    D．①

4．如图3，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（  ）

    A．∠ACD=∠B    B．CH=CE=EF    C．CH=HD    D．AC=AF

5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．

6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC的边一定满足________．

7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．

8．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距________．

9．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，

求证：BF=CF．

10．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，

求证：△DBE是等腰三角形．

11．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，

求证：AE=BE．

答案:

1．A  2．C  3．A  4．C  5．1  6．AB=AC  7．2cm  8．30海里

9．连接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC

10．证明∠D=∠BED

11．证明∠EAD=∠EDA，∠EBD=∠EDB分别得到AE=DE，BE=DE

2.等边三角形

知识要点

    1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

    2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

    3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

    4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

典型例题

分析：由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°，从而想到把这两个角拼在一起构造全等三角形，即延长AC至点P，使CP=BE，证明△BDE≌CDP，然后证明△DEF≌△DPF，得到EF=PF，从而把△AEF的周长转化为用△ABC的边长表示．

    解：延长AC至点P，使CP=BE，连接PD．

∵△ABC是等边三角形 

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD=CD，∠BDC=120° 

∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠EBD=∠DCF=90°

    ∴∠DCP=∠DBE=90°

    在△BDE和△CDP中

∴△BDE≌△CDP（SAS） 

∴DE=DP，∠BDE=∠CDP

∵∠BDC=120°，∠EDF=60° 

∴∠BDE+∠CDF=60°  ∴∠CDP+∠CDF=60°

    ∴∠EDF=∠PDF=60°

    在△DEF≌△DPF中

    ∴△DEF≌△DPF（SAS）  ∴EF=FP  ∴EF=FC+BE

    ∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2

练习题

1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（  ）

    A．60°    B．90°    C．120°    D．150°

2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（  ）

    A．①②③    B．①②④    C．①③    D．①②③④

3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（  ）

    A．等边三角形       B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形       D．不等边三角形

4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（  ）

    A．2cm     B．4cm    C．8cm     D．16cm

5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（  ）

A．等腰三角形    B．等边三角形    C．不等边三角形    D．不能确定形状

6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．

8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．

10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.

12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．

13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）

答案：

1．C  2．D  3．A  4．C  5．B  6．60°  7．60°

8．三；三边的垂直平分线  9．1cm  10．60°或120°

11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，

∴在Rt△ADC中CD=2AD，

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD

12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等边三角形．

13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°