2009届普通高中毕业班第二次质量检测
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至5页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间120分钟．总分150分．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
一．选择题
（1）设复数
满足
，则等于
A．
B．
C．
D．
（2）已知
，
，若
，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
（3）若函数
在
内单调递减，则
可以是
A．1
B．
C．
D．
（4）函数
的反函数是
A． 
，
C． ，
B． 
，
D． 
，
（5）设直线
经过点
，且
、
两点到直线的距离相等，则直线的方程是
A． 
C． 
B． 或
D． 或
（6）设
，
，则下列各式中成立的是
A．
C．
B．
D．
（7）在
的二项展开式中，常数项为60，则n等于
A．4
B．6
C．8
D．10
（8）设双曲线
的右焦点为F，右准线为．如果以F为圆心，实轴长为半径的圆与相交，那么双曲线的离心率
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
（9）已知M为△ABC内一点，且
，
．如果△MBC、△MCA、
△MAB的面积分别为
、
、
，则
的最小值为
A．9
B．18
C．16
D．20
（10）已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成的角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
（11）设数列
（
）的前
项和为
，则
A．0
B．
C．
D．
（12）设R上的函数满足
，它的导函数的图像如图，若正数、
满足
，则
的取值范围是
A．
C．
B．
D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．
2． 第Ⅱ卷共3页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10小题，共90分．
（13）某师范性高中响应上级号召，安排3名教师到4所边远山区学校支教，每所学校至多安排2人，则不同的分配方案有 ___ ．（用数字作答）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（14）已知向量
，
，
，且A为锐角，则角A=_________．
（15）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为_______________．
（16）已知正态分布
的密度曲线是
，给出以下四个命题：
①对任意
，
成立；
②如果随机变量
服从，且
，那么
是R上的增函数；
③如果随机变量服从
，那么的期望是108，标准差是100；
④随机变量服从，
，
，则
；其中，真命题的序号是 ________ ．（写出所有真命题序号）
（17）（本小题满分10分）
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
已知函数
．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设
，求的值域．
（18）（本小题满分12分）
某高校自主招生中，体育特长生的选拔考试，篮球项目初试办法规定：每位考生定点投篮，投进2球立刻停止，但投篮的总次数不能超过5次，投篮时间不能超过半分钟．某考生参加了这项测试，他投篮的命中率为
，假设他各次投篮之间互不影响．若记投篮的次数为，求的分布列和数学期望．
（19）（本大题满分12分）
已知数列
和等比数列
满足：
，
，
，且数列
是等差数列，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
（20）（本大题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PC⊥AD ，ABCD为梯形，
AB∥CD，AB⊥BC， AB=BC=PA，点E在PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；
（Ⅱ）求二面角A-EC-P的大小．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率
，直线
与E相交于A、B两点，与x轴相交于C点，且
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如果椭圆E上存在两点M、N关于直线
对称，求m的取值范围．
（22）（本小题满分12分）
设
，函数
，
．
（I）当
时，求的最小值；
（II）假设存在
，使得|
|<1成立，求的取值范围．
2009届高三第二次调研考试
一．选择题：CDDA DDBA BBDC ．
二．填空题：（13）60，（14）
，（15）
，（16）①②④ ．
三．解答题：
（17）解：（Ⅰ）∵
．
………3分
∴令
， ………4分
∴
的递减区间是
，
；
………5分
令
，
………6分
∴的递增区间是
，．
………7分
（Ⅱ）∵
，∴
，
………8分
又
，所以，根据单位圆内的三角函数线
可得
．
………10分
（18）解：由题意
，
………1分
，
………2分
，
………4分
，
………6分
，
………8分
所以
的分布列为：
…
………9分
．
………12分
（19）解：（Ⅰ）由题设可知，
．
………1分
∵
，
，
∴
，
………3分
∴
，
………5分
∴ 
．
………6分
（Ⅱ）设
．
………7分
显然，
时，
，
………8分
又
， ∴当
时，
，∴
，
当
时，
，∴
，
………9分
当
时，
，∴
，
………10分
当
时，
恒成立，
∴
恒成立，
………11分
∴存在
，使得
．
………12分
（20）解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，PC⊥AD，∴AC⊥AD． ………1分
设AB=1，则AC=
，CD=2．
………2分
设F是AC与BD的交点，∵ABCD为梯形，
∴△ABF～△CDF， ∴DF：FB=2：1， ………3分
又PE：EB=2：1，∴DF：FB=PE：EB，∴EF∥PD， ………5分
又EF在平面ACE内，∴PD∥平面ACE． ………6分
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图．
设AB=1，则
，
，
，
，
………7分
则
，
，
，
， ………8分
设
，∵
，
，∴
， …9分
设
，∵
，
，∴
， …10分
∴
，
………11分
∴二面角A-EC-P的大小为
．………12分
注：学生使用其它解法应同步给分．
（21）解：（Ⅰ）设所求的椭圆E的方程为
，
………1分
、
，将
代入椭圆得
， ………2分
∵
，又
，∴ 
，
………3分
∴
， ………4分，
， ………5分
∴所求的椭圆E的方程为
．
………6分
（Ⅱ）设
、
，则
，
，
………7分
又设MN的中点为
，则以上两式相减得：
，
………8分
∴
，………9分， 
，
………10分
又点在椭圆内，∴
，
………11分
即，
，∴
．
………12分
注：学生使用其它解法应同步给分．
（22）解：（Ⅰ）∵
，
……2分
∵
，
∴
时，递增，
时，递减，
时，递增，
所以的极大值点为
，极小值点为
，
……4分
（的图像如右图，供评卷老师参考）
所以，的最小值是
．
……6分
（II）由（Ⅰ）知在
的值域是：
当时，为
，当
时，为．
……8分
而
在的值域是为
，
……9分
所以，当时，令
，并解得
，
当时，令
，无解．
因此，
的取值范围是．
……12分
注：学生使用其它解法应同步给分．
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，
，
， ……5分