绝密★启用前（命题人：鄢文俊 刘学勇）
湖北省荆州中学2009届高三5月模拟考试
数 学（理工农医类）
说明：本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合
,则
( )
A.
B.
C.
D. 
2.设复数
，则复数
在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差数列
的前n项和为
,且满足
,则
等于( )
A.
B.
C.1
D.2
4.某高三年级的三个班级去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案是 ( )
A. 16种 B. 18种 C. 37种 D. 48种
5.若函数
的图象向右平移
(
)个单位后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
6.函数
的图象与函数
的图象有三个不相同的交点，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.如果把直线
向左平移1 个单位，再向下平移2个单位，便与圆
相切，则实数
的值是（ ）
A.13或3
B.13或
8.已知点P是椭圆
上的动点,
为椭圆的两个焦点，
是坐标原点,若
是
的角平分线上一点,且
,则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 正四面体A―BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得
，设
，
与
分别表示EF与AC，BD所成的角，则（ ）
A.
是（0，+∞）上的增函数
B.是（0，+∞）上的减函数
C.在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减
D.是（0，+∞）上的常数函数
10. 定义在
上的函数
满足
，现给定下列几个命题：
①不可能是奇函数；②
；③不可能是常数函数；④若
，则不存在常数，使得
成立．在上述命题中错误命题的个数为 （ ）
A. 1
B.
第 Ⅱ 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.）
11．已知方程
表示椭圆，则的取值范围为 ．
12．将函数
向右平移一个单位后是一个偶函数，则
的单调递减区间为
．
13．已知
是数列中的三个非负项，则
的最小值为
．
14．函数
（
）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.而对于非线性可导函数
，在已知点
附近一点
的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：
.利用这一方法，对于实数
，取
，则
的近似代替值
．（填“>”或“<”或“=”）
15．如右图所示的
的数表，满足每一行都是公差
为
的等差数列，每一列都是公比为
的等比数列．
已知
，则
．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分12分）
已知向量
，函数
.
（1）将f(x)写成
的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域.
17．（本题满分12分）现从放有标号分别为数字1、2、3、4、5的5 张卡片的盒子中，有放回地先后取两张卡片，设两卡片的标号分别为
，且设
．
（1）求随机变量
的最大值，并求取得此最大值的概率；
（2）求随机变量的分布列及其方差．
18．（本题满分12分）如图，四面体
的各个面都是直角三角形，已知
,
,
．
（1）若
，求证：
；
（2）求四面体的表面积．
19．（本题满分13分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0. 不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.
20.（本题满分13分）双曲线C与椭圆
有相同的焦点，直线y=
为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线
，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当
，且
时，求Q点的坐标.
21.（本题满分13分）已知函数
，
（1）试确定的单调性；
（2）数列满足
，且
，表示的前
项之和
①求数列的通项； ②求证：
.
‘
2009年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）
1～10：C C B C A B A B D A
11、
12、
13、 
14、>
15、
（提示：15.
，又
）
16.解：（1）
………3（分）
由
=0即
即对称中心为
…………6（分）
（2）已知b2=ac
即
的值域为
综上所述，
，故值域为…12（分）
17．解：（1）
的最大值为6，此时有
或
，故所求的概率为
.
…………5（分）
（2）
的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
……………10（分）
……12（分）
18.解：（1）
，
又
…………5（分）
（2）当
时，则
其表面积
当
与
不垂直时，则
，否则由（1）知，可得（矛盾）.
当
时，
与
不能垂直，否则
，从而
，与
矛盾.
，从而可得
…………①
由得，
…………②
根据①、②得：
，从而导致
矛盾.
，从而得到
当时，
当时，
，即四面体的各个面是全等的三角形.
其表面积为
.
……………12（分）
19.解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
…………（3分）
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且
时，每年年初鱼群的总量保持不变.
……（6分）
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*， 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1，而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1. ……………（10分）
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b最大允许值是1.…（13分）
20. 解：(1)设双曲线方程为
，由椭圆
求得两焦点为
，
对于双曲线
，又
为双曲线
的一条渐近线
解得 
，
双曲线的方程为
……………（5分）
(2)解法一：
由题意知直线
的斜率
存在且不等于零。
设的方程：
，
则
在双曲线上，
同理有：
若
则直线过顶点，不合题意.
是二次方程
的两根.
，
此时
.所求
的坐标为
.
…………（13分）
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：
，则.
，
.
，
，
，
又
，
，即
将
代入得
，否则与渐近线平行。
。
.
21.（1）
故
在
上是单调递增函数，在
上是单调递减函数
……4（分）
（2）①
是公差为1的等差数列，且首项为
故
……………9（分）
②由（1）知，当
时，
在
是单调递减函数，又
，
，即
.
………13（分）
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