高考数学第一轮复习--归纳―猜想―证明
（一）知识归纳：
由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：
①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论.
（二）学习要点：
在中学数学内，“归纳―猜想―证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明.
【例1】已知数列
满足关系式
N+），
（Ⅰ）用a表法a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想an的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.
[解析]（Ⅰ）
（Ⅱ）（
） 猜想
下面用数学归纳法证明：
1°．当n=1时，
当n=1结论正确；
2°．假设当n=k时结论正确，即
，
∴当n=k+1时 
=
当n=k+1时结论也正确；
根据1°与2°命题对一切n∈N*都正确.
[评析]“归纳―猜想―证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.
【例2】已知数列满足：
计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论.
[解析]很容易算出a2=5，a3=16，a4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索.
∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，
a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，
a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；
猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；
用数学归纳法证明：
1°．当n=1时，a1=2－1×=1，结论正确；
2°．假设n=k时，ak=2k－2（3k－1）正确，
∴当n=k+1时，
=
结论正确；
由1°、2°知对n∈N*有
[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.
【例3】已知等差数列中，a2=8，前10项的和S10=185，
（Ⅰ）求数列的通项公式an；
（Ⅱ）若从数列中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；
（Ⅲ）设 Bn=n（5+3 an），试比较An和Bn的大小，并说明理由.
[解析]（Ⅰ）设公差为d，∴
（Ⅱ）设新数列为
，∴
∴An=3×（2+22+23+…+2n）+2n=3×2n＋1+2n－6；
（Ⅲ）∵
A4=3×32+2=98，A5=3×64+4=196，A6=3×128+6=390，A7=3×256+8=776，……
而B1=20，B2=58，B3=114，B4=188，B5=280，B6=390，B7=518，……
①当n=1，2，3，4，5时，Bn>An；
②当n=6时，B6=A6；
③当n≥7，且n∈N*时，猜想An>Bn，用数学归纳法证明：
1°．当n=7时，A7=766>518=B7，结论正确；
2°．假设当n=k（k≥7）时，Ak>Bk，即3×2k+1+2k－6>9k2+11k
2k+1>3k2+3k+2，
∴n=k+1时，
=6×2 k+2－9k2－27k－24
=6×[2 k+1－（3k2+3k+2）]+6×（3k2+3k+2）－9k2－27k－24
=6×[2 k+1－（3k2+3k+2）]+9k2－9k－12
>9k2－9k－12=9k（k－1）－12≥9×7×（7－1）－12>0
∴Ak+1>Bk+1，即n=k+1时，结论也正确；
根据1°、2°知当n≥7且n∈N*时，有An>Bn.
[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.
【例4】已知数列满足：
问是否存在常数p、q，使得对一切n∈N*都有
并说明理由.
[解析] ∵
设存在这样的常数p、q，
∴
由此猜想，对n∈N*，有
下面用数学归纳法证明这个结论：
1°．当n=1时，
，结论正确；
2°．假设当n=k时结论正确，即
∴当n=k+1时，
∴当n=k+1时结论正确，故当n∈N*时，
成立.
[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳―猜想―证明的方法，难度不大.
《训练题》
一、选择题
1． 已知数列
的前n项和
，而
，通过计算
猜想
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知数列的通项公式
N*），记
，
通过计算
的值，由此猜想
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，
S3，猜想Sn= （ ）
A．
B．
C．
D．1－
4．已知a1=1，
然后猜想
（ ）
A．n B．n2 C．n3 D．
5．设
已知
则猜想 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有
种走法，则下面的猜想正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
7．已知数列中，
通过计算然后猜想
8．在数列中，
通过计算然后猜想
9．设数列的前n项和为Sn，已知Sn=2n－an（n∈N+），通过计算数列的前四项，猜想
10．已知函数
记数列的前n项和为Sn，且
时，
则通过计算
的值，猜想的通项公式
三、解答题
11．是否存在常数a，b，c，使等式
N+都成立，并证明你的结论.
12．已知数列的各项为正数，其前n项和为Sn，又
满足关系式：
，试求的通项公式.
13．已知数列的各项为正数，Sn为前n项和，且
，归纳出an的公式，并证明你的结论.
14．已知数列是等差数列，
设
N+），
N+），问Pn与Qn哪一个大？证明你的结论.
15．已知数列：
N* 
（Ⅰ）归纳出an的公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）求证：
答案与解析
一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A
二、7．
8．n！ 9． 10．n+1
11．令n=1得
①， 令n=2得
②，
令n=3得
③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想
（证明略）
12．计算得
猜测
，用数学归纳法证明（证明略）.
13．∵
∵
，…，猜想
N*）.用数学归纳法证明（略）.
14．∵
∴
计算得①
当1≤n≤3时，Pn<Qn；②猜想n≥4时Pn＞Qn，用数学归纳法证明，即证：当n≥4时
时用比较法证）
15．（Ⅰ）∵
,…，猜测
，数学归纳法证明（略）.
（Ⅱ）∵
∴
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