2009年辽宁省抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试
数 学 试 卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分.共150 分.考试用时 120 分钟.
题号
一
二
三
总分
17
18
19
20
21
选做题
得分
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
参考公式:
样本数据
，
，
，
的标准差 锥体体积公式
其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中
为球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1．已知全集
，
，
，
或
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 
C．
D． 
2．已知i是虚数单位，
和
都是实数，且有
，则复数
的倒数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题
：
且
，命题
：一元二次方程
（）至少有一个负的实数根，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．右图给出的是计算
的值的
一个程序框图，则其中空白的判断框内，应填入
下列四个选项中的（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在等差数列{
}中，
，
，
若此数列的前10项和
，前18项和
，则数列{
}的前18项和
的
值是（ ）
A．24 B．48
C．60 D．84
6．曲线
上的一个最大值点为
，一个最小值点为
，则、
两点间的距离
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设O为
ABC的外心，
于
，且
，
，则
的值是（ ）
A．1
B．
D．
8．科研室的老师为了研究某班学生数学成绩
与英语成绩
的相关性，对该班全体学生的某次
末检测的数学成绩和英语成绩进行统计分析，利用相关系数公式
计算得
，并且计算得到线性回归方程为
，其中
，
．由此得该班全体学生的数学成绩与英语成绩相关性的下列结论正确的是（ ）
A．相关性较强且正相关 B．相关性较弱且正相关
C．相关性较强且负相关 D．相关性较弱且负相关
9．过双曲线
（
，
）上的点P（
，
）作圆
的切线，切点为A、B，若
，则该双曲线的离心率的值是（ ）
A．4
B．
10．甲、乙两人因工作需要每天都要上网查找资料，已知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网时间的一半的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设、是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若
，
，
，则
；②若
, 
，则
；
③若，，则或
；④若，，
，则．
则其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．
12．已知函数
是单调递增函数，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中的横线上.
13．已知函数
满足
，则不等式
的解集是
．
14．如图，是一个长方体ABCD―A1B
去“一个角”后的多面体的三视图，在这个多
面体中，AB=3，BC=4，CC1=2．则这个多
面体的体积为 ．
15．如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是 ．
16．已知顶点在坐标原点的抛物线
的准线方程为
，直线
：
，则由抛物线及直线所围成的平面图形的面积是
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知各项为正数的数列{}满足
，（
N*）．
（Ⅰ）求数列{}的前项和
；
（Ⅱ）记数列{
}的前项和为
，试用数学归纳法证明对任意N*，都有
．
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B
,
AA1=3，M为侧棱CC1上一点，
．
（Ⅰ）求证：AM^平面
；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB
19．（本小题满分12分）
国际标准游泳池长50，宽至少21，深1.80以上，设8条泳道，每条泳道宽2.50，分道线由直径5～10
的单个浮标连接而成．某位游泳教练员指导甲、乙两名游泳运动员在这样国际标准的游泳池内同时进行游泳训练，甲、乙两名运动员可以随机的选择不同的泳道进行训练．
（Ⅰ）求甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数的分布列和期望；
（Ⅱ）若教练员为避免甲、乙两人训练的相互干扰，要求两人相隔的泳道数不少于2，为了同时计时的方便，又要求两人相隔的泳道数不能超过4，求甲、乙两名运动员随机的选择不同的泳道训练恰好符合教练员的要求的概率．
20．（本小题满分12分）
设椭圆
：
的离心率为
，点
（
，0），
（0，
），原点
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线：
与椭圆相交于、不同两点，经过线段
上点
的直线与轴相交于点，且有
，
，试求
面积
的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
，（为常数，
为自然对数的底）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若
，且经过点（0，
）（
）有且只有一条直线与曲线相切，求的取值范围．
※考生注意：请在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则在所做的题中，按题号顺序的第一题记分．做答时，用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4―1：几何证明选讲
如图，⊙O是以为直径的△ABC的外接圆，点是劣弧
的中点，连结
并延长，与过点的切线交于，
与
相交于点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
．
 |
23．（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数，且
），点是曲线上的动点．
（Ⅰ）求线段
的中点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为
（
），求点到直线距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲
已知函数
，
．
（Ⅰ）若函数的值不大于1，求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式
的解集为R，求的取值范围．
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
C
D
A
D
C
C
D
B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、
．
三、解答题
17、解：（Ⅰ）当
时，有
，又
，所以
……1分
当
时，
=
所以
，且当时，
……3分
又
，因此数列{
}是以1为首项
且公差为2的等差数列，所以
……2分
（Ⅱ）证明：（1）当时，
，
，关系成立
……1分
（2）假设当
时，关系成立，即
，则
……1分 那么
，即当
时关系也成立
……3分 根据（1）和（2）知，关系式
对任意
N*都成立 ……1分
18、解：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
……1分
设
，则
，
，
即AM⊥BC，又因为
，且
，
所以 AM^平面
……3分
（Ⅱ）
，因为，所以
，得
，
即
，可得平面
的一个法向量为
=
……3分
，设平面
的一个法向量为
，
则
且
，得
，
，令
，得平面的一个法向量为
=
……3分设平面ABM与平面AB
，
则
……2分
19、解：（Ⅰ）随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
……6分
泳道相隔数X的期望为：
E（X）=
……2分
（Ⅱ）
……4分
20、解：（Ⅰ）由
得
……2分
可得直线
的方程为
，于是
，
得
，
，
，所以椭圆
的方程为
……2分
（Ⅱ）设
，由方程组
得
，
所以有
，
，且
，即
……2分
……2分
因为
，所以
，又
，所以
是线段
的中点，
点的坐标为
，即的坐标是
，因此
直线
的方程为
，得点
的坐标为（0，
），
所以
……2分
因此
所以当
，即
时，取得最大值，最大值为
……2分
21、解：（Ⅰ）
……2分
若
，则
，
为R上的单调递增函数；
若
，
的解为
或
，
的解为
，
此时在区间
单调递增，在区间
单调递减；
若
，的解为
或
，的解为
，
此时在区间
单调递增，在区间
单调递减……3分
（Ⅱ）当时，
，
，
因为
，所以点（0，
）不在曲线上，设过点的直线与曲线相切于点
，则切线方程为
，所以有
及
，得
……2分 令
，
则
，
令
，得
，
，
，可得
在区间
单调递增，在区间
单调递减，所以在
时取极大值
，
在
时取极小值
，在
时取极大值
，又
，
所以是的最大值
……3分
如图，过点（0，）有且只有一条直线与曲线
相切等价于直线
与曲线
有且只有一个交点，又当
时，
，所以
或
……2分
22、（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，
所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，
因为D是弧
的中点，由垂径定理
得OD⊥BC，因此OD∥AC ……3分
又因为点O为AB的中点，所以点E为
BC的中点，所以OE＝
AC ……2分
（Ⅱ）证明：连结CD，因为PC是⊙O的切线，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得
，得
……3分
因为D是弧的中点，所以
，因此
……2分
23、解：（Ⅰ）曲线
上的动点的坐标为（
，
），坐标原点
（0，0），
设P的坐标为（
，
），则由中点坐标公式得
，
，所以点P 的坐标为（
，
）……3分
因此点的轨迹的参数方程为
（为参数，且
），
消去参数得点轨迹的直角坐标方程为
……2分
（Ⅱ）由直角坐标与极坐标关系
得直线
的直角坐标方程为
……2分 又由（Ⅰ）知点的轨迹为圆心在原点半径为2的圆，
因为原点（0，0）到直线的距离为
所以点到直线距离的最大值
……3分
24、解：（Ⅰ）由题意得
，即
得
……2分
因为
所以的取值范围是[0，6] ……3分
（Ⅱ）
，
因为对于
，由绝对值的三角不等式得
……3分
于是有
，得
，即
的取值范围是
……2分
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