1（汉沽一中2008~2009届月考理 3）．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为（A）

A．             B．

C．                        D．

2（汉沽一中2008~2009届月考文5）. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是(  C  ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．异面           B. 相交             C. 平行             D. 不确定

3（和平区2008年高考数学(理)三模6）. 如果直线与平面，满足：和，那么必有（B   ）

A. 且       B. 且

C. 且       D. 且

4（汉沽一中2008~2008学年月考理6）．三棱锥D―ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角A―BC―D的大小为D

   A．  30⁰        B． 45⁰         C．60⁰             D．90⁰

1（汉沽一中2008~2009届月考理11）．在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥的三个侧棱两两垂直，且长分别为，设棱锥底面上的高为，则                  .     

2（汉沽一中2008~2008学年月考理11）．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为          .    9π  

3（和平区2008年高考数学(理)三模12）. 在120°的二面角内放一个半径为6的球，与两个半平面各有且仅有一个公共点，则这两点间的球面距离是        。2

1（2009年滨海新区五所重点学校联考文19）.( 本小题满分12分) 如图，在棱长为的正方体中，

、分别为、的中点。

（Ⅰ）求证：//平面

（Ⅱ）求证：⊥

(Ⅲ)求三棱锥的体积

19．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）连结BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，

DB的中点，则EF//D₁B。    ………………2分                                         

………………4分

    （Ⅱ）∵B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，………………5分

AB平面ABC₁D₁，BC₁平面ABC₁D₁，

AB∩BC₁=B，

∴B₁C⊥平面ABC₁D₁。 ………………7分

又∵BD₁平面ABC₁D₁，

∴B₁C⊥BD₁，         ………………8分

而EF//BD₁，∴EF⊥B₁C。………………9分

(Ⅲ)三棱锥的体积………………12分

2（汉沽一中2008~2009届月考文18）．（本小题满分14分）如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，

（1）求证：面；

（2）求证：面；

（3）求面与面所成二面角的大小．

（1）证明：连结、交于点，再连结………………………………………………1分

且， 又，

且

四边形是平行四边形，…………… 3分

又面

面   ……………………………… 4分

（2）证明：底面是菱形，   ………… 5分

   又面，面

 ，面      ………………………………………………6分

又面           ………………………………8分

（3）延长、交于点                ………………………………9分

是的中点且是菱形

又      ………………………………10分

由三垂线定理可知    

为所求角        ……………………………………………12分

在菱形中，       

           …………………………………………………14分

3（汉沽一中2008~2009届月考理17）．（本小题满分14分）

如图所示的几何体中,平面，,，

，是的中点.

(Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

解法一: 分别以直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

，

所以.        ………………………… 4分

(Ⅰ)证: …… 5分

     …… 6分

,即.……………………… 7分

(Ⅱ)解:设平面的法向量为,

由,得

取得平面的一非零法向量为  ………………………… 10分

又平面BDA的法向量为      …………………………………… 11分

，

∴二面角的余弦值为.         …………………………… 14分

解法二:

(Ⅰ)证明:取的中点,连接,则,

故四点共面， ………………………… 2分

∵平面，  

.            ………………………… 3分

又           

             ………………………… 4分

由，

平面     ………………………… 6分

;             ……………………… 7分

(Ⅱ)取的中点,连,则

平面

过作,连,则

是二面角的平面角.          ……………………… 9分

设, 与的交点为,记,,则有

.

.

,                            …………………… 12分

又

在中,

即二面角的余弦值为.                  …………………… 14分

4（汉沽一中2008~2008学年月考理17）．（本小题满分14分）

如图，三棱锥P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

   (I) 求证：AB平面PCB；

   (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

（III）求二面角C-PA-B的大小．

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．…………………………2分

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．…………………………4分

又，

∴AB平面PCB．  …………………………5分

(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角．………6分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………………………9分

（III）取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得  DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

 ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．……14分

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………7分

    则+0+0=2．

    == ．

   ∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………10分

（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

，，

则   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

 设平面PAC的法向量为n=()．

，，

 则   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．……………………………12分

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小为arccos．………………………………14分

5（和平区2008年高考数学(理)三模19）. （本小题满分12分）

如图，直二面角D―AB―E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B―AC―E的大小；

（3）求点D到平面ACE的距离。

解：（1）如图，∵ BF⊥平面ACE   ∴ BF⊥AE（1分）

又∵ 二面角D―AB―E为直二面角，且CB⊥AB

∴ CB⊥平面ABE   ∴ CB⊥AE  

∵     ∴ AE⊥平面BCE（3分）

（2）连BD交AC于G，连FG

∵ 正方形ABCD边长为2    ∴ BG⊥AC，

∵ BF⊥平面ACE    由三垂线定理逆定理得FG⊥AC

∴ ∠BGF是二面角B―AC―E的平面角（5分）

由（1）AE⊥平面BCE   ∴ AE⊥EB

又∵ AE=EB    ∴ 在等腰直角三角形AEB中，

又∵ Rt△BCE中，

∴ （7分）

∴ 在Rt△BFG中，

∴ 二面角B―AC―E等于（8分）

（3）过E作EO⊥AB于O，OE=1

∵ 二面角D―AB―E为直二面角

∴ EO⊥平面ABCD（9分）

设D到平面ACE的距离为h

∵      ∴

∵ AE⊥平面BCE    ∴ AE⊥EC

∴

∴ 点D到平面ACE的距离为（12分）

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

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