1．的共轭复数对应复平面内的点位于                                 

   A．第一象限      B．第二象限         C．第三象限         D．第四象限

2．已知集合,，且，则集合的非空真子集个数最少为

   A．2             B．3                C．6                D．7

3．已知数组满足线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“”的

  A．充分不必要条件                     B．必要不充分条件

  C．充要条件                           D．既不充分也不必要条件

4．函数的部分图象如图所示，则的值为

  A．0                 B．2－

  C．1                D．

5．已知向量、满足，，，则向量在向量方向上的投影是

  A．              B．             C．              D．

6．设，要使在内连续，则的值为  

  A．              B．               C．6                D．

7．从8个不同的数中选出5个数构成函数（）的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是对应的函数值，那么不同的选法种数为

  A．          B．            C．           D．无法确定

8．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为

  A．         B．           C．          D．

9．当实数、满足不等式组时，恒有成立，则实数的取值范围为                                                                 

  A．          B．         C．          D．

10.如图，在正四棱柱中，

．过顶点在空间作直线，使与直线和

所成的角都等于60º，这样的直线最多可作

  A．1条      B．2条       C．3条       D．4 条

11．的展开式中不含的项的系数和为            (结果化成最简形式).

12．已知函数与函数的图像关于直线对称，则的值为          .

13．如图，是球面上三点，且，，，若球心到截面的距离为，则该球的表面积为            .

14．设圆，直线，点，使得圆上存在点，且(为坐标原点)，则点的横坐标的取值范围是             .

15．已知数列满足：，定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内的企盼数共有       个.

16．(本小题满分12分)

   中，内角的对边分别为, 向量，

，且.

   (1) 求角的大小；

   (2) 若，，求．

17．(本小题满分12分)

设，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．

   (1) 求方程有实根的概率；

   (2) 求的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，⊥平面，⊥平面，，.

(1) 证明：；

(2) 点为线段上一点，求直线与平面所成角的取值范围．

19.（本小题满分12分）

受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值. 经过市场调查，旅游增加值万元与投入万元之间满足：，，其中为大于的常数.当万元时万元．

  (1)求的解析式和投入的取值范围；

  (2)求出旅游增加值取得最大值时对应的值.

20．（本小题满分13分）

已知点，分所成的比为2．是平面上一动点，且满足．

(1) 求点的轨迹对应的方程；

(2) 已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦，且的斜率满足．试推断：动直线有何变化规律，证明你的结论.

21．(本小题满分14分)

 设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．

 (1) 求数列的通项公式；

 (2) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围．

宜昌市2009届高三年级第二次调研考试

数学(理)答案及评分标准

考试时间：2009年3月11日15：00―17：00

命题人：时爱华（枝江一中）

审题人：向立政（宜昌外校）    刘晓平（宜昌一中）     孙红波（当阳一中）

1．C．．其共轭复数为．对应的点位于第三象限．

2．A．,=,非空真子集个数为．

3．B．为这10组数据的平均值，因为根据公式计算线性回归方程的以后，再根据为样本平均值)求得．因此一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了外，可能还有其它样本点．

4．D．依题意，，周期，．

从而．

图象过起始点(0，0)，则由得．

从而．

易知，

从而．

5．B.在中，已知是边上一点，若，则，∴．

6．A．，

．要使在内连续，只需要．

7．C．自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有种方法，再从其它7个数中选出4种排列即可，故不同选法共有种．

8．D．设双曲线标准方程为， ，所以,，即，解得，由定义得，解得．

9．D．记，目标函数变形可得．数形结合可得斜率或，解得．

10．D．正方体中，连结、，则．在中，易得，所以，从而和所成的角大于小于．

空间中过不同的定点作直线与已知直线成一定条件的角的直线条数相等，因此可作的平行线，让过同一点．

如图所示，，同一平面内角的平分线正好与成的角均为．过此时的角平分线作平面，使其垂直于所在的平面，当绕着点在平面内按逆时针方向转动时，与所成的角由增大到90º，再由90º减小到(还原)，符合条件的直线有2条．

，同一平面内角的平分线正好与成的角均为．过此时的角平分线作平面，使其垂直于所在的平面，当绕着点在平面内按逆时针方向转动时，与所成的角由增大到90º，再由90º减小到(还原)，符合条件的直线有2条．因此符合条件的直线共有4条，即．

11．－1024．

．

令可得展开式不含的项，再令即得结果．就是．

12．8．

由得，因此即所以．

13．．由余弦定理得，观察数据间的关系，易知为直角．在面上的射影为中点，从而．

在中，

14．．

依题意点，设．过点作圆的切线，切点为，则．从而，即，就是，,,解得．

15．9．

．要使为正整数，

可设，

附：求所有企盼数的和：

16．解：(1) ∵

∴，    ……………………………………1分

即         ……………………………………2分

即       ……………………………………3分

即，亦即………………………………………5分

.∵为的内角，

∴，∴.…………………………………………………7分

从而．∴   ………………………………………………………8分

(2) ∵，

由余弦定理得． ………………………10分

即

解得：或  ………………………………………………………………12分

17．解：（1）记“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程 有两个相异实数”为事件．

分别取1到6，基本事件总数为种．

事件需要满足，按序穷举可得，时符合，

其概率为                        ……………………………………2分

事件需要满足，按序穷举可得，时；时；时；时．合计9种．其概率为．……………5分

又因为是互斥事件，故所求概率

．          ……………………………6分

（2）由题意，的可能取值为．

，

．…………………………8分

故的分布列为：

……………………………………………………………………………………………9分

所以的数学期望．…………………………12分

18．解法1:取的中点，连.

∵，∴. 又⊥平面.

以为原点建立空间直角坐标系，如图，

则已知条件有：，

……………………………………2分

．

设平面的法向量为

则由

及

解得．可取…………………4分

又⊥平面. ∴．又，∴⊥平面．

∴平面的法向量可取为

∵∴⊥，∴. ………6分

(2)平面的一个法向量记为，

则，即

取，则．因此．………………………………………9分

记所求角为，设，()

从而． ……11分

，

从而所求角的范围为．  …………………………………12分

解法2:（1）取的中点，的中点，连，，. 则．

∵⊥平面，⊥平面，．

∴，，∴  ……………3分

∵. 又⊥平面，

∴平面⊥平面.

∴⊥平面. ∴⊥平面.

从而.   …………………………6分

另解：取的中点，连，．

等腰直角三角形中，，．

中，．

直角梯形中，．

为等腰三角形，，． …………3分

又等腰直角三角形中，从而为二面角的平面角．

中，．

由知．．………………6分

（2）取中点，则，从而． …………………7分

过作交平面于点．则为所求角． …………………8分

又，从而，因此为矩形，(定值)．

． …………………………10分

又．

从而所求角的范围为．………………………………………………12分

19.解：(1)当万元时万元．

因此，解得．

从而………………………………………………………3分

即投入的取值范围为.……………………………………………………6分

(2)

………………………………………………………8分

当时，且在上连续，因此在上是增函数；

当时，且在上连续，因此在上是减函数.所以为极大值点.  …………………………………………………………9分

当，即时，投入50万元改造时旅游取得最大增加值.

当，即时，投入万元改造时旅游取得最大增加值.

…………………………………………………………………………………………11分

答：(1)函数的解析式为，投入的取值范围为.

(2) 当时，投入50万元改造时旅游取得最大增加值.

   当时，投入万元改造时旅游取得最大增加值.

 …………………………………………………………………………………………12分

20．解：（1）因为点，分所成的比为2，

所以．………………………………………2分

设代入，得．

化简得．…………………………………………………………………………5分

（2）将代入，得，即．……………………………6分

∵，两点不可能关于轴对称，∴的斜率必存在．…………7分

设直线的方程为

由得．

∵，∴．

且

∴．

将代入化简得∴．…………11分

(i)将代入得过定点．…12分

(ii)将 入得.

过定点．即为点，不合题意，舍去．

∴直线恒过定点.…………………………………………………………13分

21．解：（1）因为点在函数的图象上，

故，所以．

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．………………………………………………………………2分

用数学归纳法证明如下：

① 当时，有上面的求解知，猜想成立．

② 假设时猜想成立，即成立，

则当时，注意到，

故，．

两式相减，得，所以．

由归纳假设得，，

故．

这说明时，猜想也成立．

由①②知，对一切，成立 ．……………………………………5分

另解：因为点在函数的图象上，

故，所以    ①．

令，得，所以；……………………………………………1分

时    ②

时①－②得………………………………………………2分

令，

即与比较可得

，解得．

因此

又，所以，从而．………………5分

（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，  故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.………………8分

（3）因为，故，

所以．

又，

故对一切都成立，就是

对一切都成立．……………9分

设，则只需即可．

由于，

所以，故是单调递减，于是．

令，………………………………………………………………………12分

即 ，解得，或．

综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是．……………………………………………………………………14分