上海冠龙高级中学2009年2月高三数学考试卷
本卷满分120分,考试时间90分钟
一、填空题(每小题4分,满分48分)
1. 已知复数z满足（
＋3i）z＝3i，则z＝
2. 已知
3. 已知数列
是等差数列，且
则数列的公差d=
4. 函数
(
) 的反函数为
5. 已知
的展开式中
项的系数为9，则常数
的值为
6. 已知向量
=(4, 0)，
=(2, 2)，则与
的夹角的大小为
7. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为
8. 从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数， 则这个两位数大于20的概率为
9. 以C（
）为圆心，并且和直线
相切的圆的方程是
10. 执行下边的程序框图1，若p＝0.8，则输出的n＝ .
11. 若
，则称直线
是曲线
当
时的渐近线 . 由此可知，曲线
当时的渐近线方程为_____________
12. 已知函数
,对任意实数
满足
,且
,则
的最大值为
二、选择题(每小题4分,满分16分)
13. 下列函数中值域是
的函数是
( )
A．
B．
C．
D．
14. ax+2x－1=0至少有一个正的实根的充要条件是 （ ）
A，
B，
C，
D， 
15. 设
表示三条直线，
表示两个平面，则下列命题中不正确的是
( )
A
B 
C 
D 
16. 函数
在区间
上有最小值-2，则实数a的值为
（ ）
A．2
B．
C．－2 D．4
三、解答题(满分56分)
17. (10分)已知函数y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x
(1)将函数化成y=Asin(
) (
)的形式,并写出最小正周期;
(2)当x∈[0,
]时,求函数y的值域.
18. (10分)在棱长为a的正方体ABCD―A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点
(1)求直线A′C与DE所成的角；
(2)求直线AD与平面B′EDF所成的角；
19. (12分)已知：等差数列{an}中，a3 + a4
= 15，a
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求
的最大值及相应的n的值.
20 . (12分) 已知函数
，且
（1）求
的值；
（2）试判断是否存在正数
，使函数
在区间
上的值域为
.若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由.
21. (12分)已知圆
上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
.
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线
，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
1. 
2. 1 3. 4 4. 
5. 1, 6. 90° 7. 13
8. 
9. 
10. 4
11. y=2x 12. 9
13. D 14. B 15. D 16. C
17. 解： (1)y=2sin(2x-
), 
(2)
……
∴函数y的值域为[-1,2]
……………
18. (1)解
如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角
在△A′CP中，
易得A′C=
a，CP=DE=
a,A′P=
a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C与DE所成角为arccos
另法（向量法） 如图建立坐标系，则
故A′C与DE所成角为arccos
(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD=
a，AB′=a,B′D=a
则cosADB′=
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos
另法（向量法）
∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，
如图建立坐标系，则
，
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos
19. （1）解
为等差数列，
……………………………………………………2分
解得
……………………………4分
………………………………………………………………5分
……………………………………………………………6分
（2）
………………………………………………6分
…………8分
因
，知
上单减，在
上单增，
又
，
而
…………………………………………10分
∴当n =
5时，
取最大值为
………………12分
20. 解：（1）∵
，∴
，即
，
∵
，∴
（2）
， 
当
，
即
时，
当
时，∵
，∴这样的
不存在。
当
，即
时，
，这样的不存在。
综上得，
.
21. 解：（1）
Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长
，半焦距
，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是
（2）因为
，所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得|
|=|
|，则四边形OASB为矩形
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由
矛盾，故l的斜率存在.
设l的方程为
①
②
把①、②代入
∴存在直线
使得四边形OASB的对角线相等.
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