北京市东城区2008-2009学年度综合练习（一）
高三数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若将复数
表示为
，
是虚数单位)的形式,则
的值为
( )
A．-2
B．
C．2
D．
2.命题甲“
”,命题乙“
”,那么甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.设
为
轴上两点,点
的横坐标为2,且
,若直线
的方程为
,则直线
的
方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
4.若非零向量
满足
,则下列不等关系一定成立的是 ( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
的图像在点
处的切线与直线
平行,数列
的前
项和为
,则
的值为( )
A．
B．
C．
D．
6.数列
共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )
A．24个 B．60个 C．72个 D．120个
7.已知命题:“
∥
,则
”成立,那么字母
在空间所表示的几何图形不能( )
A.都是直线 B.都是平面
C.
是直线,是平面
D.
是平面,
是直线
8.函数
的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式
的解集为( )
A.
B. 
C. 
D. 
北京市东城区2008-2009学年度综合练习（一）
高三数学（理科）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
1--8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分数
得分
评卷人
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9.若
，则a=
.
10.若二项式
的展开式共7项,则该展开式中的常数项为_____.
11.如图，已知
为正六边形，若以
为焦点的
双曲线恰好经过
四点，则该双曲线的离心率为
.
12.关于函数
,给出下列三个命题:
(1) 函数
在区间
上是减函数;
(2)
直线
是函数的图象的一条对称轴;
(3)
函数的图象可以由函数
的图象向左平移
而得到.
其中正确的命题序号是 .(将你认为正确的命题序号都填上)
13.已知正三棱锥
的四个顶点都在同一球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上.若正三棱锥的高为1,则球的半径为_________,
两点的球面距离为________.
14.已知是奇函数,且对定义域内任意自变量满足
,当
时,
,则
当
时,=______________;当
时,
________________.
得分
评卷人
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知递增的等比数列满足
,且
是
的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若
,是数列
的前项和,求使
成立的的最小值.
得分
评卷人
16．（本小题满分13分）
在△
中, 
,
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若
,求
.
得分
评卷人
17．（本小题满分14分）
如图，
是边长为2
的正方形，
是矩形，且二面角
是直二面角，
，
是
的中点.
（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；
（Ⅱ）求
与平面所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
得分
评卷人
18. （本小题满分13分）
甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环,且每次射击成绩互不影响.根据以往的统计数据, 甲、乙射击环数的频率分布条形图如下:
若将频率视为概率,回答下列问题:
（Ⅰ）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率;
（Ⅱ）若甲、乙两运动员各自射击1次,
表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数,求的分
布列及数学期望
.
得分
评卷人
19．（本小题满分14分）
如图,已知定圆
，定直线
，过
的一条动直线
与直线相交于
,与圆
相交于
两点，
是
中点.
（Ⅰ）当与
垂直时，求证：过圆心；
（Ⅱ）当
时，求直线的方程；
（Ⅲ）设
,试问
是否为定值,
若为定值，请求出的值；若不为定值，
请说明理由.
得分
评卷人
20.(本小题满分13分)
设
是
的两个极值点,
为的导函数.
(Ⅰ)如果
,求
的取值范围;
(Ⅱ)如果
,
,求证:
;
(Ⅲ)如果
,且
时,函数
的最大值为
,求的最小值.
北京市东城区2008-2009学年度综合练习（一）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
10．60 11．
12．(1) (2)
13．1, 
14．
,
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）设等比数列
的公比为
,依题意有
, (1)
又
,将(1)代入得
.所以
.
于是有
………………3分
解得
或
………………6分
又是递增的,故
.
………………7分
所以
.
………………8分
(Ⅱ)
,
.
………………10分
故由题意可得
,解得
或
.又
, …………….12分
所以满足条件的
的最小值为13.
………………13分
16. （本小题满分13分）
解:（Ⅰ）由
且
,
所以
.
…………………4分
于是
. …………7分
（Ⅱ）由正弦定理可得
,
所以
.
…………………….10分
由
得
.
………………11分
即
,
解得
.即
=7 .
…………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：（Ⅰ）∵正方形
，∴
又二面角
是直二面角，
∴
⊥平面
.
∵
平面，
∴⊥.
又
，
，是矩形，
是
的中点，
∴
=
，
，
=
，
∴⊥
又
=
，
∴⊥平面
，
而平面
，故平面⊥平面
……………………5分
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知平面⊥平面
，且交于
，在平面内作
⊥，垂足为
，则⊥平面.
∴∠
是
与平面所成的角.
……………………7分
∴在Rt△中,=
.
.
即与平面所成的角为
.
………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ），⊥平面.作
⊥
，垂足为
，连结
，则⊥，
∴∠
为二面角
的平面角. ……………………….11分
∵在Rt△
中，=
，在Rt△中，
.
∴在Rt△中，
………13分
即二面角的大小为arcsin
.
………………………………14分
解法二：
如图，以
为原点建立直角坐标系
，
则（0，0，0），（0，2，0），
（0，2，2），（，，0），
（，0，0）.
（Ⅰ）
=（，，0），
=（，
，0）,
=（0，0，2），
∴?=（，，0）?（，，0）=0,
? =（，，0）?（0，0，2）= 0.
∴⊥，⊥
，
∴⊥平面
，又平面
，故平面⊥平面. ……5分
（Ⅱ）设
与平面所成角为
.
由题意可得=（，，0），
=（0，2，2 ），=（，，0）.
设平面的一个法向量为
=（
，
，1），
由
.
.
∴与平面所成角的大小为
.
……………..9分
（Ⅲ）因=（1，－1，1）是平面的一个法向量，
又
⊥平面，平面的一个法向量
=（，0，0），
∴设与的夹角为
，得
，
∴二面角的大小为
. ………………………………14分
18. （本小题满分13分）
解:（Ⅰ）设事件表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则
.
……………….3分
甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为
.
…………………5分
所以甲运动员射击3次,至少有1次击中9环以上的概率为
.
………………6分
(Ⅱ)记乙运动员射击1次,击中9环以上为事件,则
…………………8分
由已知
的可能取值是0,1,2.
…………………9分
;
;
.
的分布列为
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………12分
所以
故所求数学期望为
.
………………………13分
19. （本小题满分14分）
解:（Ⅰ）由已知
,故
,所以直线
的方程为
.
将圆心
代入方程易知过圆心 . …………………………3分
(Ⅱ) 当直线与轴垂直时,易知
符合题意; ………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为
,由于
,
所以
由
,解得
.
故直线的方程为或
. ………………8分
(Ⅲ)当与轴垂直时,易得
,
,又
则
,故
. 即
.
………………10分
当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得
.则
,即
,
.又由
得
,
则
.
故
.
综上,
的值为定值,且.
…………14分
另解一:连结
,延长交
于点
,由(Ⅰ)知
.又
于
,
故△
∽△
.于是有
.
由
得
同步练习册答案
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