1．已知，为虚数单位，若，则的值等于

      A．-6        B．-2       C．2         D．6

2．设向量且，则锐角为

      A．          B．         C．        D．

3．是相交”的

      A．充分而不必要条件          B．必要而不充分条件

      C．充分必要条件              D．既不充分也不必要条件

4．函数的图象大致为

5．设为不重合的平面为不重合的直线，则下列命题正确的是

      A．若

      B．若

      C．若

      D．若

6．关于函数图象的对称性，下列说法正确的是

      A．关于直线对称

      B．关于直线对称

      C．关于点对称

      D．关于点对称

7．右图是计算函数的值的程度框图，

   在①、②、③处应分别填入的是

      A．

      B．

      C．

      D．

8．已知直线与直线互相垂直，则的最小值为

      A．5         B．4        C．2         D．1

9．已知函数满足，且当时，则的大小关系是

      A．           B．

      C．           D．

10．的展开式中，的系数可以表示从个不同物体中选出个方法总数，下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是

      A．

      B．

      C．

      D．

第Ⅱ卷（非选择题  共100分）

11．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将

    其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有

    200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积

    是____________。

12．已知满足约束条件则的最大值是__________。

13．如图，直线与曲线所围图形的面积是____________。

14．在锐角中，角的对边分别为，且则

    ____________。

15．已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在轴上。小明从曲线上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上，小明的记录如下：

-2

0

2

3

2

0

   据此，可推断椭圆的方程为_________。

16．（本小题满分13分）

在等比数列中，

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和。

17．（本小题满分13分）

    甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随即抽取8次，记录如下：

                甲 82   81  79  78  95  88  93  84

                乙 92   95  80  75  83  80  90  85

（I）用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；

（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望。

18．（本小题满分13分）

     四棱锥的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。

（I）写出四棱锥中四对线面垂直关系（不要求证明）；

（Ⅱ）在四棱锥中，若E为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）在四棱锥中，设面与面所成的角为，求的值

19．（本小题满分13分）

    已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为。

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两

     点，直线与交于点，试问：当

     变化时，点是否恒在一条定直线上？

     若是，请写出这条直线方程，并证明你的结

论；若不是，请说明理由。

20．（本小题满分14分）

已知函数

（I）求函数的极值；

（Ⅱ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线，特别地，当时，又称为的伴随切线。

（i）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

（ii）是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多

做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号

涂黑。并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2；矩阵与变换

     已知矩阵对应的线性变换把点变成点，求矩阵的特征值以及属于没个特征值的一个特征向量。

（2）（本小题满分7分）选修4-4，坐标系与参数方程

     已知直线经过点，且倾斜角为，圆的参数方程为（是参数），直线与圆交于两点，求两点间的距离。

（3）（本小题满分7分）选修4-5；不等式选将

     解不等式

2009年福建省普通高中毕业班质量检查

理科数学试题参考解答及评分标准

说明：

1．C    2．B   3．A    4．C   5．D   6．D   7．B   8．C   9．B   10．A

11．9      12．5    13．       14．       15．

16．本小题主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，满分13分。

解：（I）设等比数列的公比为

        依题意，得

        解得

        数列的通项公式   

  （Ⅱ）由（I）得

17．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用数学知识分析解决实际问题的能力，满分13分

解：（I）作出茎叶图如下：

  （Ⅱ）派甲参赛比较合适，理由如下：

         ，

              ，

         ，

         甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。

注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如

派乙参赛比较合适，理由如下：

从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，

乙获得85分以上（含85分）的概率

，派乙参赛比较合适。

     （Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，

           则

           随机变量的可能取值为0，1，2，3，且服从，

            所以变量的分布列为

0

1

2

3

         （或）

18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，满分13分。

解法一：

    （I）如图，在四棱锥中，平面，

        平面，平面，平面

        注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分

        平面也符合要求

   （Ⅱ）依题意两两垂直，分别以直线，

         ，为轴，建立空间直角坐标系，如图

          则，

          的中点，点的坐标为（0，0，1），

          。

          设是平面的法向量

         由，即

         取，得为平面的一个法向量

         ，，

         平面，又平面，平面

    （Ⅲ）由（Ⅱ），平面的一个法向量为=（1，1，2）

          又平面，平面的一个法向量为

解法二：

     （I）同解法一。

    （Ⅱ）取的中点，连接，

          分别是的中点，

          ，

           在直角梯形中，

           且且

            四边形是平行四边形，

           又平面，平面，

           平面

     （Ⅲ）依题意两两垂直，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系，如图

           则

           设是平面的法向量。

           由 即

           取，得=（1，1，2）为平面的一个法向量

           又平面，平面的一个法向量为

解法三：

       （I）同解法一

      （Ⅱ）取的中点，连接，

            分别是的中点，

            又平面，

            平面

            在直角梯形中，且，

           四边形是平行四边形，

           又平面，平面

           平面平面

            又平面平面

      （Ⅲ）同解法二

19．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形

结合思想和化归思想等，满分13分。

解法一：

       （I）设椭圆的方程为

             椭圆的方程是

      （Ⅱ）取，得

            直线的方程是，直线的方程是

            交点为

            若，由对称性可知交点为

            若点在同一条直线上，则直线只能为

            以下证明对于任意的，直线与的交点均在直线上

            事实上，由

            得即

            记则

            设与交于点由，得

            设与交于点由，得

            即与重合

            这说明，当变化时，点恒在定直线上

解法二：

       （I）同解法一

      （Ⅱ）取，得

            直线的方程是，直线的方程是，

            交点为

            取，得

            直线的方程是，直线的方程是，交点为

            若交点在同一条直线上，则直线只能为

            以下证明对于任意的，直线与的交点均在直线上，

            事实上，有

            得，即

            记则

            的方程是，的方程是

             消去，得

             以下用分析法证明时，①式恒成立。

             要证明①式恒成立，只需证明，

             即证，即证

             ，②式成立。

             这说明，当变化时，点恒在定直线上。

解法三：

        （I）同解法一。

       （Ⅱ）由

             得，即

             记则

             的方程是的方程是

             由得

             即

             这说明，当变化时，点恒在定直线上

20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形

结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分14分

解法一：

       （I）
            当时，，函数在内是增函数，

            函数没有极值

            当时，令得

            当变化时，与变化情况如下表：

+

0

-

单调递增

极大值

单调递减

            当时，取得极大值

             综上，当时，没有极值；

             当时，的极大值为，没有极小值

       （Ⅱ）（i）设是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点使得

             ，且点不在上。

          即证存在，使得

           即成立，且点不在上

           以下证明方程在内有解。

           记则

           令

           在内是减函数，

           取则，即

           同理可证

           函数在（）内有零点

           即方程在内有解

        又对于函数取，则，

           可知即点不在上。

           又是增函数，的零点是唯一的，

           即方程在内有唯一解

           综上，曲线上的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的

      （ii）取曲线，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。

           证明如下：

           设是曲线上任意两点，

           则

           即曲线的任意一条弦均有伴随切线

           注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分，若只给

曲线，没有给出正确的证明，不给分。

解法二：

       （I）同解法一。

      （Ⅱ）（i）设是曲线上的任意两点，要证明 有伴随切线，只需证明存在点，，使得

           且点不在上

          即证存在，使得

           即成立，且点不在上

           以下证明方程在内有解

           设

           则

           记

           在内是增函数，

           同理

           方程在内有解

           又对于函数

           可知即点不在上。

           又在内是增函数。

           方程在内有唯一解

           综上，曲线上的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的

          （ii）同解法一。

21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

           本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，满分7分

    解：由，得

           矩阵的特征多项式为

           令，得矩阵的特征值

        对于特征值，解相应的线性方程组 得一个非零解

           因此，=是矩阵的属于特征值的一个特征向量

           注：写出的特征向量只要满足，即可

      （2）（本小题满分7分）选修4-4；坐标系与参数方程

           本小题主要考查圆的参数方程、直线于圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力满分7分

解法一：

          将圆的参数方程化为普通方程，得

          直线的方程为即

          圆心到直线的距离

          所以

解法二：

          直线的参数方程为即（为参数）

          将圆的参数方程化为普通方程，得

          将直线的参数方程代入圆的普通方程得

          ，即

           两点间的距离为

       （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

           本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分

        解：当时，原不等式可化为

           ，解得或

            当时，原不等式可化为

            ，解得或

            当时，原不等式可化为

            ，解得

            综上所述，原不等式的解集为