数学（理科）试卷
注意事项：
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
S=4
R2
如果事件A、B相互独立，那么
其中R表示球的半径
P(A•B)=P(A)•P(B)
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
其中R表示球的半径
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则
（ ）
A．{1,2,3} B. {2} C.{1,3,4} D. {4}
2、已知1是
与
的等比中项,又是
与
的等差中项,则
的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
3、将直线
绕着点(-1,1)沿逆时针方向旋转
所得的直线方程
A. 
B. 
C. 
D. 
4、
，且
，则向量
与
的夹角为
A．
B. 
C. 
D. 
5、函数y＝1－|x－x2|的图象大致是
A． B． C． D．
6、随机变量
，记
，则下列式子中错误的是
A.
B. 
C. 
D. 
7、设
为直线,
为平面,则
的一个充分不必要条件是
A.
B.
C.
D.
.
8、过函数f (x)= x+cosx－
sin x图象上一点的切线的倾斜角是θ，则θ的取值范围是
A． 
B． 
C． 
D． 
９、在平面直角坐标系中，点
满足
，点所在区域的面积为
，
则集合
的交集
所表示的图形面积为
A．
B．
C．1
D．
10、一条走廊宽长
，
, 用 6 种颜色的
的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有
A. 
个 B. 
个 C. 
个 D. 
个
数学（理科）答卷纸
题号
一
二
三
总分
18
19
20
21
22
得分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
答案
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题:本大题共7个小题，每小题4分，共28分，将答案填写在题中的横线上.
11、已知复数
，且
满足
，则实数
的值为
12、椭圆的焦距是它的两条准线间距离的
，则它的离心率为
13、函数
的最小正周期为
14、若二项式
展开式中的第5项是5，则
等于
15、棱长为2的正四面体ABCD的外接球的球心O到平面BCD的距离等于
16、已知抛物线
的对称轴在y轴的左侧，其中
，在这些抛物线中，记随机变量
的取值
则
的数学期望
17、定义点
到直线
的有向距离为：
.已知点
、
到直线
的有向距离分别是
、
，有以下命题：
①若
=0，则直线与直线平行；②若+=0，则直线与直线平行；
③若+=0，则直线与直线垂直；④若<0，则直线与直线相交。
以上结论正确的是 .（要求填上正确结论的序号）
三、解答题:本大题共5个小题，前面4题每小题14分，最后一题16分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18、数列
满足:
(Ⅰ)记
,求证:
是等比数列;
(Ⅱ)求数列
的通项公式;
19、如图,平面四边形ABCD中, AB=13, AC=10,
AD=5,
,
=120,
(Ⅰ)
求
; (Ⅱ) 设
求实数x、y的值.
20、如图，正三棱柱ABC―A1B
(Ⅰ)若M为AB中点，求证
BB1∥平面EFM；
(Ⅱ)求证 EF⊥BC；
(Ⅲ)求二面角A1―B1D―C1的大小
21、已知点D在定线段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，
若
=λ
，且λ∈[2－，2＋]，记直线l
与直线MN夹角为θ，求
的取值范围．
22、已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，有
（其中
为自然对数的底，
）．
（Ⅰ）若
,求函数的解析式；
（Ⅱ）试问：是否存在实数
，使得当
，的最小值是
？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．
（Ⅲ）设
（
），求证：当
时，
；
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
答案
D
B
C
C
C
D
B
D
B
D
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题:本大题共7个小题，每小题4分，共28分，将答案填写在题中的横线上.
11．
0 12． 
13． -1 14． 
15. 
16.
17.___ ④____
三、解答题:本大题共5个小题，第18-21题每小题14分，第22题16分,共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18、数列
满足:
(Ⅰ)记
,求证:
是等比数列;(Ⅱ)求数列
的通项公式;
解：(Ⅰ)
，
是等比数列;
(Ⅱ) 
19、如图,平面四边形ABCD中, AB=13, AC=10,
AD=5,
,
=120,
(Ⅰ)
求
; (Ⅱ) 设
求实数x、y的值.
解：(Ⅰ)设
(Ⅱ) 
（其他方法解对同样给分）
20、如图，正三棱柱ABC―A1B
(Ⅰ)若M为AB中点，求证
BB1∥平面EFM；
(Ⅱ)求证 EF⊥BC；
(Ⅲ)求二面角A1―B1D―C1的大小
(1) 证明 连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB
（和AB1的中点，
∴BB1∥ME，又BB1
平面EFM，∴BB1∥平面EFM
(2)证明 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 AN⊥BC，
又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF
平面EFM，∴BC⊥EF
(3)解 取B
（建立坐标系解对同样给分）
21、已知点D在定线段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，
若
=λ
，且λ∈[2－，2＋]，记直线l
与直线MN夹角为θ，求
的取值范围．
解：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系xOy．
∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝1
或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－1
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为1的双曲线（不包含顶点），
其轨迹方程为
（y≠0）
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)
设AB：my＝x＋
，代入得，3(my－)2－y2－2＝0，
即(
∴
＝λ，y1＝-λy2，∴
得，
，
∴
∈[-2，0]，即
∴
，故
22、已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，有
（其中
为自然对数的底，
）．
（Ⅰ）若
,求函数的解析式；
（Ⅱ）试问：是否存在实数
，使得当
，的最小值是
？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．
（Ⅲ）设
（
），求证：当
时，
；
解：（Ⅰ）
当时，
，故有
，由此及是奇函数得
，因此，函数的解析式为
；
（Ⅱ）当时，
：
①若
，则
在区间
上是减函数，故此时函数在区间上没有最小值；
②若
，则令
，且在区间
上是减函数，而在区间
上是增函数，故当
时，
．
令
．
综上所述，当
时，函数在区间上的最小值是3．
（Ⅲ）证明：令
。当
时，注意到
，故有
．
①当
时，注意到
，故
；
②当
时，有
，故函数
在区间
上是增函数，从而有
。
因此，当时，有。
又因为是偶函数，故当
时，同样有
，即．
综上所述，当时，有；
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